La atmósfera gris (o gris) es un conjunto útil de aproximaciones hechas para aplicaciones de transferencia radiativa en estudios de atmósferas estelares basadas en la simplificación que el coeficiente de absorción de materia dentro de la atmósfera es constante para todas las frecuencias de radiación incidente.
Solicitud
La aplicación de la aproximación de la atmósfera gris es el método principal que utilizan los astrónomos para determinar la temperatura y las propiedades radiativas básicas de los objetos astronómicos, incluido el Sol, los planetas con atmósferas, otras estrellas y las nubes interestelares de gas y polvo. Aunque el modelo demuestra una buena correlación con las observaciones, se desvía de los resultados de las observaciones porque las atmósferas reales no son grises, por ejemplo, la absorción de radiación depende de la frecuencia.
Aproximaciones
La aproximación principal es la suposición de que el coeficiente de absorción , típicamente representado por un, no depende de la frecuencia para el rango de frecuencia en el que se trabaja, por ejemplo .
Por lo general, se realizan varias otras suposiciones simultáneamente:
- La atmósfera tiene una geometría de atmósfera plano-paralelo .
- La atmósfera se encuentra en equilibrio térmico radiativo.
Este conjunto de suposiciones conduce directamente a que la intensidad media y la función de fuente sean directamente equivalentes a una función de Planck de cuerpo negro de la temperatura a esa profundidad óptica .
La aproximación de Eddington (consulte la siguiente sección) también se puede utilizar opcionalmente para resolver la función fuente. Esto simplifica enormemente el modelo sin distorsionar mucho los resultados.
Derivación de la función de fuente utilizando la aproximación de Eddington
Derivar varias cantidades del modelo de atmósfera gris implica resolver una ecuación integro-diferencial, cuya solución exacta es compleja. Por lo tanto, esta derivación aprovecha una simplificación conocida como Aproximación de Eddington. Comenzando con una aplicación de un modelo plano-paralelo, podemos imaginar un modelo atmosférico formado por capas plano-paralelas apiladas una encima de la otra, donde propiedades como la temperatura son constantes dentro de un plano. Esto significa que dichos parámetros son función de la profundidad física., donde la dirección de positivo apunta hacia las capas superiores de la atmósfera. A partir de esto, es fácil ver que un camino de rayo en ángulo a la vertical, está dada por
Ahora definimos la profundidad óptica como
dónde es el coeficiente de absorción asociado con los diversos componentes de la atmósfera. Pasemos ahora a la ecuación de transferencia de radiación.
dónde es la intensidad específica total, es el coeficiente de emisión. Después de sustituir y dividiendo por tenemos
dónde es la llamada función de fuente total definida como la relación entre los coeficientes de emisión y absorción. Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por, reescribiendo el lado izquierdo como y luego integrando toda la ecuación con respecto a . Esto da la solucion
donde hemos usado los limites ya que nos estamos integrando hacia afuera desde alguna profundidad dentro de la atmósfera; por lo tanto. Aunque hemos descuidado la dependencia de la frecuencia de parámetros como, sabemos que es una función de la profundidad óptica, por lo tanto, para integrar esto, necesitamos tener un método para derivar la función de fuente. Ahora definimos algunos parámetros importantes como la densidad de energía., flujo total y presión de radiación como sigue
También definimos la intensidad específica promedio (promediada sobre todas las frecuencias) como
Vemos inmediatamente que dividiendo la ecuación de transferencia radiativa por 2 e integrando sobre , tenemos
Además, al multiplicar la misma ecuación por e integrando wrt , tenemos
Al sustituir la intensidad específica media J en la definición de densidad de energía, también tenemos la siguiente relación
Ahora, es importante tener en cuenta que el flujo total debe permanecer constante a través de la atmósfera, por lo tanto
Esta condición se conoce como equilibrio radiativo. Aprovechando la constancia del flujo total, ahora integramos para obtener
dónde es una constante de integración. Sabemos por la termodinámica que para un gas isotrópico se cumple la siguiente relación
donde hemos sustituido la relación entre densidad de energía e intensidad específica media derivada anteriormente. Aunque esto puede ser cierto para profundidades más bajas dentro de la atmósfera estelar, cerca de la superficie es casi seguro que no lo sea. Sin embargo, la Aproximación de Eddington asume que esto se mantiene en todos los niveles dentro de la atmósfera. Sustituyendo esto en la ecuación anterior para la presión da
y bajo la condición de equilibrio radiativo
Esto significa que hemos resuelto la función fuente excepto por una constante de integración. Sustituyendo este resultado en la solución de la ecuación de transferencia de radiación e integrando da
Aquí hemos establecido el límite inferior de a cero, que es el valor de la profundidad óptica en la superficie de la atmósfera. Esto representaría la radiación que sale, digamos, de la superficie del Sol. Finalmente, sustituyendo esto en la definición de flujo total e integrando da
Por lo tanto, y la función fuente viene dada por
Solución de temperatura
La integración del primer y segundo momento de la ecuación de transferencia radiativa, la aplicación de la relación anterior y la aproximación del límite de dos corrientes conduce a información sobre cada uno de los momentos superiores. El primer momento de la intensidad mediaes constante independientemente de la profundidad óptica :
El segundo momento de la intensidad media entonces viene dado por:
Tenga en cuenta que la aproximación de Eddington es una consecuencia directa de estos supuestos.
Definición de una temperatura efectiva para el flujo de Eddington y aplicando la ley de Stefan-Boltzmann , se dio cuenta de esta relación entre la temperatura efectiva observada externamente y la temperatura interna del cuerpo negro del medio.
Los resultados de la solución de atmósfera gris: la temperatura observada es una buena medida de la temperatura real a una profundidad óptica y la temperatura máxima de la atmósfera es .
Esta aproximación hace que la función de fuente sea lineal en profundidad óptica.
Referencias
Rybicki, George; Lightman, Alan (2004). Procesos radiativos en astrofísica . Wiley-VCH . ISBN 978-0-471-82759-7.