La ley de Stefan-Boltzmann describe la potencia irradiada por un cuerpo negro en términos de su temperatura . Específicamente, la ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía total radiada por unidad de superficie de un cuerpo negro en todas las longitudes de onda por unidad de tiempo (también conocida como la emitancia radiante del cuerpo negro ) es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura termodinámica del cuerpo negro T :
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La constante de proporcionalidad σ , llamada constante de Stefan-Boltzmann , se deriva de otras constantes físicas conocidas . Desde 2019 , el valor de la constante es
donde k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz en el vacío . La radiancia desde un ángulo de visión específico (vatios por metro cuadrado por estereorradián ) viene dada por
Un cuerpo que no absorbe toda la radiación incidente (a veces conocido como cuerpo gris) emite menos energía total que un cuerpo negro y se caracteriza por una emisividad ,:
La emitancia radiante tiene dimensiones de flujo de energía (energía por unidad de tiempo por unidad de área), y las unidades de medida del SI son julios por segundo por metro cuadrado, o equivalentemente, vatios por metro cuadrado. La unidad SI para la temperatura absoluta T es el kelvin .es la emisividad del cuerpo gris; si es un perfecto cuerpo negro,. En el caso aún más general (y realista), la emisividad depende de la longitud de onda,.
Para encontrar la potencia total irradiada por un objeto, multiplique por su área de superficie,:
Las partículas de escala de longitud de onda y sublongitud de onda, [1] metamateriales , [2] y otras nanoestructuras no están sujetas a límites ópticos de rayos y pueden estar diseñadas para exceder la ley de Stefan-Boltzmann.
Historia
En 1864, John Tyndall presentó medidas de la emisión infrarroja de un filamento de platino y el color correspondiente del filamento. [3] La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta fue deducida por Josef Stefan (1835-1893) en 1879 sobre la base de las mediciones experimentales de Tyndall, en el artículo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( Sobre la relación entre radiación térmica y temperatura ) en los Boletines de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena. [4] [5]
Ludwig Boltzmann (1844-1906) en 1884 presentó una derivación de la ley a partir de consideraciones teóricas , basándose en el trabajo de Adolfo Bartoli . [6] Bartoli en 1876 había derivado la existencia de presión de radiación a partir de los principios de la termodinámica . Siguiendo a Bartoli, Boltzmann consideró un motor térmico ideal que utiliza radiación electromagnética en lugar de un gas ideal como materia de trabajo.
La ley fue verificada experimentalmente casi de inmediato. Heinrich Weber en 1888 señaló desviaciones a temperaturas más altas, pero la precisión perfecta dentro de las incertidumbres de medición se confirmó hasta temperaturas de 1535 K en 1897. [7] La ley, incluida la predicción teórica de la constante de Stefan-Boltzmann en función de la velocidad de luz , la constante de Boltzmann y la constante de Planck , es una consecuencia directa de la ley de Planck formulada en 1900.
A partir de la redefinición de las unidades base del SI de 2019 , que fija los valores de la constante de Boltzmann k , la constante de Planck h y la velocidad de la luz c , la constante de Stefan-Boltzmann es exactamente
- σ = 5.670 374 419 184 429 453 970 996 731 889 230 875 840 122 970 291 30 ... × 10 -8 W / m 2 K 4 .
Ejemplos de
Temperatura del sol
Con su ley, Stefan también determinó la temperatura de la superficie del Sol . [8] De los datos de Jacques-Louis Soret (1827-1890) [9] infirió que la densidad de flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad de flujo de energía de una cierta laminilla de metal calentada (una placa delgada). Se colocó una laminilla redonda a tal distancia del dispositivo de medición que se vería en el mismo ángulo que el Sol. Soret estimó que la temperatura de la laminilla es aproximadamente de 1900 ° C a 2000 ° C. Stefan supuso que ⅓ del flujo de energía del Sol es absorbido por la atmósfera de la Tierra , por lo que tomó como flujo de energía correcto del Sol un valor 3/2 veces mayor que el valor de Soret, es decir, 29 × 3/2 = 43,5.
No se hicieron mediciones precisas de la absorción atmosférica hasta 1888 y 1904. La temperatura que obtuvo Stefan fue un valor mediano de las anteriores, 1950 ° C y la termodinámica absoluta 2200 K. Como 2.57 4 = 43.5, se sigue de la ley que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de la laminilla, por lo que Stefan obtuvo un valor de 5430 ° C o 5700 K (el valor moderno es 5778 K [10] ). Este fue el primer valor sensible para la temperatura del sol. Antes de esto, se reclamaron valores que iban desde tan solo 1800 ° C hasta tan altos como 13,000,000 ° C [11] . El valor más bajo de 1800 ° C fue determinado por Claude Pouillet (1790-1868) en 1838 utilizando la ley de Dulong-Petit . [12] Pouillet también tomó solo la mitad del valor del flujo de energía correcto del Sol.
Temperatura de las estrellas
La temperatura de las estrellas distintas del Sol se puede aproximar utilizando un medio similar al tratar la energía emitida como una radiación de cuerpo negro. [13] Entonces:
donde L es la luminosidad , σ es la constante de Stefan-Boltzmann , R es el radio estelar y T es la temperatura efectiva . Esta misma fórmula se puede utilizar para calcular el radio aproximado de una estrella de secuencia principal en relación con el sol:
dónde es el radio solar ,es la luminosidad solar , etc.
Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden inferir fácilmente los radios de las estrellas. La ley también se cumple en la termodinámica de los agujeros negros en la denominada radiación de Hawking .
Temperatura efectiva de la Tierra
De manera similar, podemos calcular la temperatura efectiva de la Tierra T ⊕ equiparando la energía recibida del Sol y la energía irradiada por la Tierra, bajo la aproximación de cuerpo negro (la propia producción de energía de la Tierra es lo suficientemente pequeña como para ser despreciable). La luminosidad del Sol, L ⊙ , viene dada por:
En la Tierra, esta energía está pasando a través de una esfera con un radio de un 0 , la distancia entre la Tierra y el Sol, y la irradiancia (potencia recibida por unidad de área) viene dada por
La Tierra tiene un radio de R ⊕ , y por lo tanto tiene una sección transversal de. El flujo radiante (es decir, la energía solar) absorbido por la Tierra viene dado por:
Debido a que la ley de Stefan-Boltzmann usa una cuarta potencia, tiene un efecto estabilizador en el intercambio y el flujo emitido por la Tierra tiende a ser igual al flujo absorbido, cercano al estado estacionario donde:
Entonces se puede encontrar T ⊕ :
donde T ⊙ es la temperatura del Sol, R ⊙ el radio del Sol y a 0 es la distancia entre la Tierra y el Sol. Esto da una temperatura efectiva de 6 ° C en la superficie de la Tierra, asumiendo que absorbe perfectamente todas las emisiones que caen sobre ella y no tiene atmósfera.
La Tierra tiene un albedo de 0,3, lo que significa que el 30% de la radiación solar que llega al planeta se dispersa de nuevo al espacio sin ser absorbida. El efecto del albedo sobre la temperatura se puede aproximar asumiendo que la energía absorbida se multiplica por 0,7, pero que el planeta aún irradia como un cuerpo negro (este último por definición de temperatura efectiva , que es lo que estamos calculando). Esta aproximación reduce la temperatura en un factor de 0,7 1/4 , dando 255 K (−18 ° C). [14] [15]
La temperatura anterior es la de la Tierra vista desde el espacio, no la temperatura del suelo, sino un promedio de todos los cuerpos emisores de la Tierra desde la superficie hasta la altura. Debido al efecto invernadero , la temperatura superficial promedio real de la Tierra es de aproximadamente 288 K (15 ° C), que es más alta que la temperatura efectiva de 255 K, e incluso más alta que la temperatura de 279 K que tendría un cuerpo negro.
En la discusión anterior, hemos asumido que toda la superficie de la tierra tiene una temperatura. Otra pregunta interesante es preguntar cuál sería la temperatura de la superficie de un cuerpo negro en la tierra asumiendo que alcanza el equilibrio con la luz del sol que cae sobre él. Por supuesto, esto depende del ángulo del sol en la superficie y de la cantidad de aire que haya atravesado la luz solar. Cuando el sol está en el cenit y la superficie es horizontal, la irradiancia puede ser tan alta como 1120 W / m 2 . [16] La ley de Stefan-Boltzmann da una temperatura de
o 102 ° C. (Por encima de la atmósfera, el resultado es aún mayor: 394 K.) Podemos pensar en la superficie de la tierra como "tratando" de alcanzar la temperatura de equilibrio durante el día, pero siendo enfriada por la atmósfera, y "tratando" de alcanzar el equilibrio con la luz de las estrellas. y posiblemente luz de la luna por la noche, pero siendo calentado por la atmósfera.
Origen
Derivación termodinámica de la densidad de energía
El hecho de que la densidad de energía de la caja que contiene radiación sea proporcional ase puede derivar usando termodinámica. [17] [18] Esta derivación utiliza la relación entre la presión de radiación p y la densidad de energía interna, una relación que se puede mostrar usando la forma del tensor de tensión-energía electromagnética . Esta relación es:
Ahora, de la relación termodinámica fundamental
obtenemos la siguiente expresión, después de dividir por y arreglando :
La última igualdad proviene de la siguiente relación de Maxwell :
De la definición de densidad de energía se deduce que
donde la densidad de energía de la radiación solo depende de la temperatura, por lo tanto
Ahora la igualdad
después de la sustitución de y para las expresiones correspondientes, se puede escribir como
Dado que la derivada parcial puede expresarse como una relación entre solo y (si se aísla en un lado de la igualdad), la derivada parcial se puede reemplazar por la derivada ordinaria. Después de separar los diferenciales, la igualdad se convierte en
que conduce inmediatamente a , con como una constante de integración.
Derivación de la ley de Planck
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La ley se puede derivar considerando una pequeña superficie plana de un cuerpo negro que irradia una media esfera. Esta derivación utiliza coordenadas esféricas , con θ como ángulo cenital y φ como ángulo azimutal; y la pequeña superficie plana del cuerpo negro se encuentra en el plano xy, donde θ = π / 2 .
La intensidad de la luz emitida por la superficie del cuerpo negro viene dada por la ley de Planck :
- dónde
- es la cantidad de potencia por unidad de superficie por unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia emitida a una frecuenciapor un cuerpo negro a la temperatura T .
- es la constante de Planck
- es la velocidad de la luz , y
- es la constante de Boltzmann .
La cantidad es la potencia irradiada por una superficie de área A a través de un ángulo sólido dΩ en el rango de frecuencia entre ν y ν + dν .
La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia emitida por unidad de área del cuerpo emisor,
Tenga en cuenta que el coseno aparece porque los cuerpos negros son lambertianos (es decir, obedecen la ley del coseno de Lambert ), lo que significa que la intensidad observada a lo largo de la esfera será la intensidad real multiplicada por el coseno del ángulo cenital. Para derivar la ley de Stefan-Boltzmann, debemos integrar sobre la media esfera e integrar de 0 a ∞.
Luego conectamos para yo :
Para evaluar esta integral, haga una sustitución,
lo que da:
La integral de la derecha es estándar y tiene muchos nombres: es un caso particular de una integral de Bose-Einstein , el polilogaritmo o la función zeta de Riemann. . El valor de la integral es, dando como resultado que, para una superficie de cuerpo negro perfecta:
Finalmente, esta prueba comenzó considerando solo una pequeña superficie plana. Sin embargo, cualquier superficie diferenciable puede aproximarse mediante una colección de pequeñas superficies planas. Siempre que la geometría de la superficie no haga que el cuerpo negro reabsorba su propia radiación, la energía total radiada es simplemente la suma de las energías radiadas por cada superficie; y el área de superficie total es solo la suma de las áreas de cada superficie, por lo que esta ley también se aplica a todos los cuerpos negros convexos , siempre que la superficie tenga la misma temperatura en todas partes. La ley se extiende a la radiación de cuerpos no convexos utilizando el hecho de que el casco convexo de un cuerpo negro irradia como si él mismo fuera un cuerpo negro.
Densidad de energia
La densidad de energía total U se puede calcular de manera similar, excepto que la integración es sobre toda la esfera y no hay coseno, y el flujo de energía (U c) debe dividirse por la velocidad c para obtener la densidad de energía U :
Por lo tanto es reemplazado por , dando un factor adicional de 4.
Así, en total:
Ver también
- Ley de desplazamiento de Wien
- Ley de Rayleigh-Jeans
- Resplandor
- Modelos de dimensión cero
- Cuerpo negro
- Ecuación de Sakuma-Hattori
- Radó von Kövesligethy
Notas
- ^ Bohren, Craig F .; Huffman, Donald R. (1998). Absorción y dispersión de luz por pequeñas partículas . Wiley. págs. 123-126. ISBN 978-0-471-29340-8.
- ^ Narimanov, Evgenii E .; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Más allá de la ley de Stefan-Boltzmann: hiperconductividad térmica". Conferencia sobre Láseres y Electroóptica 2012 . Resumen técnico de OSA. Sociedad Óptica de América. págs. QM2E.1. CiteSeerX 10.1.1.764.846 . doi : 10.1364 / QELS.2012.QM2E.1 . ISBN 978-1-55752-943-5. S2CID 36550833 .
- ^
- Tyndall, John (1864). "Sobre radiación luminosa [es decir, visible] y oscura [es decir, infrarroja]" . Revista filosófica . 4ta serie. 28 : 329–341. ; ver p. 333.
- Wüllner, Adolph (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Libro de texto de física experimental ] (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 215.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda )
Ver también:- Wisniak, Jaime (noviembre de 2002). "Ley de radiación de calor - de Newton a Stefan". Revista India de Tecnología Química . 9 : 545–555. ; véanse las págs. 551–552. Disponible en: Instituto Nacional de Recursos de Información y Comunicación Científica (Nueva Delhi, India)
- ^ Stefan, J. (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura]. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Actas de la Academia Filosófica Imperial [de Viena]: Clase Matemática y Científica) (en alemán). 79 : 391–428.
- ↑ Stefan declaró (Stefan, 1879), p. 421: "Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, ... die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperature proporcional anzunehmen". (En primer lugar, quiero señalar aquí la observación que Wüllner, en su libro de texto, agregó al informe de los experimentos de Tyndall sobre la radiación de un alambre de platino que se puso incandescente por una corriente eléctrica, porque esta observación me causó primero suponer que la radiación térmica es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.)
- ^ Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivación de la ley de Stefan, relativa a la dependencia de la radiación térmica de la temperatura, de la teoría electromagnética de la luz]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 258 (6): 291-294. Código Bibliográfico : 1884AnP ... 258..291B . doi : 10.1002 / yp.18842580616 .
- ^ Massimiliano Badino, El camino lleno de baches: Max Planck de la teoría de la radiación a lo cuántico (1896-1906) (2015), p. 31 .
- ↑ (Stefan, 1879), págs. 426–427.
- ^ Soret, JL (1872) "Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" [Comparación de las intensidades de calor de la radiación solar y de la radiación de un cuerpo calentado con una antorcha de oxihidrógeno ], Archives des sciences physiques et naturelles (Ginebra, Suiza), segunda serie, 44 : 220-229 ; 45 : 252-256.
- ^ "Hoja informativa sobre el sol" .
- ^ Waterston, John James (1862). "Un recuento de observaciones sobre la radiación solar" . Revista filosófica . 4ta serie. 23 (2): 497–511. Código bibliográfico : 1861MNRAS..22 ... 60W . doi : 10.1093 / mnras / 22.2.60 .En P. 505, el físico escocés John James Waterston estimó que la temperatura de la superficie del sol podría ser de 12,880,000 °.
- ^ Ver:
- Pouillet (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et absorbants de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Memoria sobre el calor solar, sobre los poderes radiantes y absorbentes del aire atmosférico y sobre la temperatura de espacio]. Comptes Rendus (en francés). 7 (2): 24–65.En P. 36, Pouillet estima la temperatura del sol: "... cette température pourrait être de 1761 ° ..." (... esta temperatura [es decir, del Sol] podría ser 1761 ° ...)
- Traducción al inglés: Pouillet (1838) "Memoria sobre el calor solar, sobre los poderes de radiación y absorción del aire atmosférico y sobre la temperatura del espacio" en: Taylor, Richard, ed. (1846) Memorias científicas, seleccionadas de las transacciones de academias de ciencias extranjeras y sociedades eruditas, y de revistas extranjeras. vol. 4. Londres, Inglaterra: Richard y John E. Taylor. págs. 44–90; véanse las págs. 55–56.
- ^ "Luminosidad de las estrellas" . Extensión y educación del telescopio australiano . Consultado el 13 de agosto de 2006 .
- ^ Cuarto informe de evaluación del Panel Intergubernamental sobre Cambio Climático. Capítulo 1: Panorama histórico de la ciencia del cambio climático página 97
- ^ Radiación solar y equilibrio energético de la Tierra
- ^ "Introducción a la Radiación Solar" . Newport Corporation. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013.
- ^ Knizhnik, Kalman. "Derivación de la ley de Stefan-Boltzmann" (PDF) . Universidad Johns Hopkins - Departamento de Física y Astronomía . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 3 de septiembre de 2018 .
- ^ (Wisniak, 2002), p. 554.
Referencias
- Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura] (PDF) , Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (en alemán), 79 : 391–428
- Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivación de la pequeña ley de Stefan sobre la dependencia de la radiación térmica de la temperatura de la teoría electromagnética of light], Annalen der Physik und Chemie (en alemán), 258 (6): 291–294, Bibcode : 1884AnP ... 258..291B , doi : 10.1002 / andp.18842580616