Teorema del cuarto de Koebe. La imagen de una función analítica inyectiva f : D → C del disco unitario D sobre un subconjunto del plano complejo contiene el disco cuyo centro es f (0) y cuyo radio es | f' (0)|/4.
El teorema lleva el nombre de Paul Koebe , quien conjeturó el resultado en 1907. El teorema fue probado por Ludwig Bieberbach en 1916. El ejemplo de la función de Koebe muestra que la constante 1/4 en el teorema no se puede mejorar (aumentar).
De hecho, si r > 1, el complemento de la imagen del disco |z| > r es un dominio acotado X ( r ). Su área está dada por
Dado que el área es positiva, el resultado sigue al dejar que r disminuya a 1. La demostración anterior muestra que la igualdad se cumple si y solo si el complemento de la imagen de g tiene área cero, es decir, la medida de Lebesgue es cero.
La aplicación del teorema a esta función muestra que la constante 1/4 en el teorema no se puede mejorar, ya que el dominio de la imagen f ( D ) no contiene el punto z = −1/4 y, por lo tanto, no puede contener ningún disco centrado en 0 con radio mayor que 1/4.
con α un número complejo de valor absoluto 1. La función de Koebe y sus rotaciones son schlicht : es decir, univalentes (analíticas y biunívocas ) y satisfaciendo f (0) = 0 y f′ (0) = 1.