En matemáticas , en la rama del análisis complejo , una función holomórfica en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva . [1]
Ejemplos de
La función es univalente en el disco de la unidad abierta, como implica que . Como el segundo factor no es cero en el disco de la unidad abierta, debe ser inyectable.
Propiedades básicas
Uno puede probar que si y son dos conjuntos abiertos conectados en el plano complejo, y
es una función univalente tal que (es decir, es sobreyectiva ), entonces la derivada de nunca es cero, es invertible , y su inversotambién es holomórfico. Más, uno tiene por la regla de la cadena
para todos en
Comparación con funciones reales
Para las funciones analíticas reales , a diferencia de las funciones analíticas complejas (es decir, holomórficas), estos enunciados no se cumplen. Por ejemplo, considere la función
dado por ƒ ( x ) = x 3 . Esta función es claramente inyectiva, pero su derivada es 0 en x = 0, y su inversa no es analítica, ni siquiera diferenciable, en todo el intervalo (-1, 1). En consecuencia, si ampliamos el dominio a un subconjunto abierto G del plano complejo, debe dejar de ser inyectivo; y este es el caso, ya que (por ejemplo) f (εω) = f (ε) (donde ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad y ε es un número real positivo menor que el radio de G como una vecindad de 0).
Ver también
Referencias
- ^ John B. Conway (1996) Funciones de una variable compleja II , capítulo 14: equivalencia conforme para regiones simplemente conectadas, página 32, Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94460-5 . Definición 1.12: "Una función en un conjunto abierto es univalente si es analítica y uno a uno".
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