En el análisis complejo , el teorema de De Branges , o la conjetura de Bieberbach , es un teorema que da una condición necesaria a una función holomórfica para que pueda mapear el disco unitario abierto del plano complejo de forma inyectiva al plano complejo. Fue planteado por Ludwig Bieberbach ( 1916 ) y finalmente probado por Louis de Branges ( 1985 ).
Las preocupaciones de los estados del Taylor coeficientes de un n de una función univalente , es decir, una función de uno-a-uno holomorphic que mapea el disco unidad en el plano complejo, normalizado como es siempre posible de modo que un 0 = 0 y un 1 = 1. Que es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomorfa e inyectiva ( univalente ) con series de Taylor de la forma
Estas funciones se denominan schlicht . El teorema luego establece que
La función de Koebe (ver más abajo) es una función en la que a n = n para todo n , y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del n- ésimo coeficiente.
Funciones de Schlicht
Las normalizaciones
- a 0 = 0 y a 1 = 1
Significa que
- f (0) = 0 y f '(0) = 1.
Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : comenzando con una función holomórfica inyectiva arbitraria g definida en el disco unitario abierto y configurando
Tales funciones g son de interés porque aparecen en el teorema de mapeo de Riemann .
Una función de Schlicht se define como una función analítica f que es uno a uno y satisface f (0) = 0 y f '(0) = 1. Una familia de funciones de Schlicht son las funciones de Koebe rotadas
con α un número complejo de valor absoluto 1. Si f es una función de Schlicht y | a n | = n para algunos n ≥ 2, entonces f es una función de Koebe rotada.
La condición del teorema de De Branges no es suficiente para mostrar que la función es schlicht, ya que la función
muestra: es holomórfico en el disco de la unidad y satisface | a n | ≤ n para todo n , pero no es inyectivo ya que f (−1/2 + z ) = f (−1/2 - z ).
Historia
Koepf (2007) ofrece un estudio de la historia .
Bieberbach (1916) demostró | a 2 | ≤ 2, y planteó la conjetura de que | a n | ≤ n . Loewner (1917) y Nevanlinna (1921) probaron independientemente la conjetura de las funciones similares a las estrellas . Luego Charles Loewner ( Löwner (1923) ) probado | a 3 | ≤ 3, utilizando la ecuación de Löwner . Su trabajo fue utilizado por la mayoría de los intentos posteriores y también se aplica en la teoría de la evolución de Schramm-Loewner .
Littlewood (1925 , teorema 20) demostró que | a n | ≤ en para todo n , mostrando que la conjetura de Bieberbach es cierta hasta un factor de e = 2.718 ... Varios autores luego redujeron la constante en la desigualdad debajo de e .
Si f ( z ) = z + ... es una función de schlicht, entonces φ ( z ) = f ( z 2 ) 1/2 es una función de schlicht impar. Paley y Littlewood ( 1932 ) demostraron que sus coeficientes de Taylor satisfacen b k ≤ 14 para todo k . Conjeturaron que 14 se puede reemplazar por 1 como una generalización natural de la conjetura de Bieberbach. La conjetura de Littlewood-Paley implica fácilmente la conjetura de Bieberbach utilizando la desigualdad de Cauchy, pero pronto fue refutada por Fekete & Szegö (1933). , quien mostró que hay una función de schlicht impar con b 5 = 1/2 + exp (−2/3) = 1.013 ..., y que este es el valor máximo posible de b 5 . Isaak Milin demostró más tarde que 14 se puede reemplazar por 1,14, y Hayman mostró que los números b k tienen un límite menor que 1 si f no es una función de Koebe (para la cual b 2 k +1 son todos 1). Por lo tanto, el límite es siempre menor o igual a 1, lo que significa que la conjetura de Littlewood y Paley es cierta para todos menos un número finito de coeficientes. Robertson (1936) encontró una forma más débil de la conjetura de Littlewood y Paley .
La conjetura de Robertson establece que si
es una función de schlicht impar en el disco unitario con b 1 = 1 entonces para todos los enteros positivos n ,
Robertson observó que su conjetura todavía es lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach, y la demostró para n = 3. Esta conjetura introdujo la idea clave de delimitar varias funciones cuadráticas de los coeficientes en lugar de los coeficientes en sí, lo que es equivalente a las normas delimitadoras de elementos en ciertos espacios de Hilbert de funciones de schlicht.
Hubo varias pruebas de la conjetura de Bieberbach para ciertos valores más altos de n , en particular Garabedian y Schiffer (1955) probado | a 4 | ≤ 4, Ozawa (1969) y Pederson (1968) probado | a 6 | ≤ 6, y Pederson y Schiffer (1972) probado | a 5 | ≤ 5.
Hayman (1955) demostró que el límite de un n / n existe y tiene un valor absoluto menor que 1 a menos que f sea una función de Koebe. En particular, esto mostró que para cualquier f puede haber como máximo un número finito de excepciones a la conjetura de Bieberbach.
La conjetura de Milin establece que para cada función de schlicht en el disco unitario, y para todos los enteros positivos n ,
donde los coeficientes logarítmicos γ n de f están dados por
Milin (1977) mostró usando la desigualdad de Lebedev-Milin que la conjetura de Milin (más tarde probada por De Branges) implica la conjetura de Robertson y por lo tanto la conjetura de Bieberbach.
Finalmente De Branges (1985) probado | a n | ≤ n para todo n .
la prueba de de Branges
La demostración usa un tipo de espacios de Hilbert de funciones completas . El estudio de estos espacios se convirtió en un subcampo de análisis complejo y los espacios han pasado a denominarse espacios de Branges . De Branges demostró ser la conjetura más fuerte de Milin ( Milin 1971 ) en coeficientes logarítmicos. Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson ( Robertson 1936 ) sobre funciones univalentes extrañas, que a su vez se sabía que implicaba la conjetura de Bieberbach sobre funciones de schlicht ( Bieberbach 1916 ). Su demostración usa la ecuación de Loewner , la desigualdad de Askey-Gasper sobre polinomios de Jacobi y la desigualdad de Lebedev-Milin sobre series de potencias exponenciadas.
De Branges redujo la conjetura a algunas desigualdades para los polinomios de Jacobi y verificó las primeras a mano. Walter Gautschi verificó más de estas desigualdades por computadora para De Branges (demostrando la conjetura de Bieberbach para los primeros 30 coeficientes) y luego le preguntó a Richard Askey si conocía desigualdades similares. Askey señaló que Askey & Gasper (1976) habían demostrado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a De Branges completar su demostración. La primera versión era muy larga y tenía algunos errores menores que causaron cierto escepticismo al respecto, pero estos fueron corregidos con la ayuda de miembros del seminario de Leningrado sobre Teoría de Funciones Geométricas ( Departamento de Leningrado del Instituto Matemático Steklov ) cuando De Branges la visitó en 1984.
De Branges demostró el siguiente resultado, que para ν = 0 implica la conjetura de Milin (y por lo tanto la conjetura de Bieberbach). Suponga que ν> −3/2 y σ n son números reales para enteros positivos n con límite 0 y tales que
es no negativo, no creciente y tiene límite 0. Entonces, para todas las funciones de mapeo de Riemann F ( z ) = z + ... univalente en el disco unitario con
el valor maximinum de
se logra mediante la función de Koebe z / (1 - z ) 2 .
Una versión simplificada de la prueba fue publicada en 1985 por Carl FitzGerald y Christian Pommerenke ( FitzGerald y Pommerenke (1985) ), y una descripción aún más corta por Jacob Korevaar ( Korevaar (1986) ).
Ver también
- Matriz de Grunsky
Referencias
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