En matemáticas, un funtor de grupo es un funtor valorado en grupo en la categoría de anillos conmutativos. Aunque normalmente se ve como una generalización de un esquema de grupo , la noción en sí misma no involucra una teoría de esquema . Debido a esta característica, algunos autores, en particular Waterhouse y Milne (que siguieron a Waterhouse), [1] desarrollan la teoría de esquemas de grupo basada en la noción de functor de grupo en lugar de la teoría de esquema.
Por lo general, un grupo formal se define como un tipo particular de funtor de grupo.
Funtor de grupo como generalización de un esquema de grupo
Se puede pensar en un esquema como un funtor contravariante de la categoría de S -schemes a la categoría de conjuntos que satisfacen el axioma de encolado ; la perspectiva conocida como el functor de puntos . Bajo esta perspectiva, un esquema de grupo es un funtor contravariante de a la categoría de grupos que es una gavilla de Zariski (es decir, que satisface el axioma de encolado para la topología de Zariski).
Por ejemplo, si Γ es un grupo finito, entonces considere el funtor que envía Spec ( R ) al conjunto de funciones locales constantes en él. [ aclaración necesaria ] Por ejemplo, el esquema de grupo
se puede describir como el functor
Si tomamos un anillo, por ejemplo, , luego
Gavilla de grupo
Es útil considerar un functor de grupo que respete una topología (si existe) de la categoría subyacente; es decir, uno que es una gavilla y un functor de grupo que es una gavilla se llama gavilla de grupo. La noción aparece en particular en la discusión de un torsor (donde la elección de la topología es un asunto importante).
Por ejemplo, un grupo p -divisible es un ejemplo de un haz de grupo fppf (un haz de grupo con respecto a la topología fppf). [2]
Ver también
Notas
Referencias
- Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, 66 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117