En geometría algebraica, dado un grupo algebraico suave G , un G -toror o un G principal- paquete P sobre un esquema X es un esquema (o incluso espacio algebraico ) con una acción de G que es localmente trivial en la topología de Grothendieck dada en la sensación de que la base cambia a lo largo de "algunos" mapas de cobertura es el torsor trivial ( G actúa solo sobre el segundo factor). [1] De manera equivalente, un G -torsor P en X es un espacio homogéneo principal para el esquema de grupo (es decir, actúa simplemente transitivamente sobre .)
La definición se puede formular en el lenguaje teórico de la gavilla: una gavilla P en la categoría de esquemas X con alguna topología de Grothendieck es un G -tor si hay una coberturaen la topología, llamada trivialización local, de modo que la restricción de P a cada es un trivial -torrosor.
Un paquete de líneas no es más que un -bundle, y, como un haz de líneas, los dos puntos de vista de los torsores, geométrico y teórico de la gavilla, se usan indistintamente (permitiendo que P sea una pila como un espacio algebraico si es necesario [2] ).
Es común considerar un torsor no solo para un esquema de grupo, sino más generalmente para una gavilla de grupo (por ejemplo, gavilla de grupo fppf).
Ejemplos y propiedades básicas
Ejemplos de
- A -torsor en X es un principal -bundle en X .
- Si es una extensión finita de Galois , entonces es un -torsor (más o menos porque el grupo de Galois actúa simplemente de manera transitiva sobre las raíces). Este hecho es una base para la descendencia de Galois . Ver extensión integral para una generalización.
Observación: A G -torsor P sobre X es isomorfo a un torsor trivial o si y solo sino está vacío. (Prueba: si hay un, luego es un isomorfismo.)
Sea P un G -torsor con una trivialización localen topología étale. Un torsor trivial admite una sección: así, hay elementos. Arreglando tales secciones, podemos escribir de forma única en con . Diferentes opciones deequivalen a 1-co-límites en cohomología; eso es eldefinir una clase de cohomología en el grupo de cohomología de gavilla (más precisamente cohomología Čech con coeficiente de gavilla). [3] Un torsor trivial corresponde al elemento de identidad. Por el contrario, es fácil ver cualquier clase endefine un G -torsor en X , único hasta un isomorfismo.
Si G es un grupo algebraico conectado sobre un campo finito, luego cualquier G -bundle sobrees trivial. ( Teorema de Lang .)
Reducción de un grupo de estructura
La mayoría de las construcciones y la terminología relacionadas con los paquetes principales en la topología algebraica se trasladan literalmente a los paquetes G. Por ejemplo, sies un paquete G y G actúa desde la izquierda en un esquema F , entonces se puede formar el paquete asociado con la fibra F . En particular, si H es un subgrupo cerrado de G , entonces para cualquier H -bundle P ,es un paquete G llamado paquete inducido .
Si P es un paquete G que es isomorfo al paquete inducidopara algunos H -bundle P' , entonces P se dice que admitir una reducción del grupo estructura de G a H .
Sea X una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado k , G un grupo algebraico semisimple y P un G -bundle en una curva relativa, R un k- álgebra finitamente generada . Entonces, un teorema de Drinfeld y Simpson establece que, si G está simplemente conectado y dividido , hay un morfismo étale tal que admite una reducción del grupo estructura a un subgrupo Borel de G . [4] [5]
Invariantes
Si P es un subgrupo parabólico de un esquema de grupo afín suave G con fibras conectadas, entonces su grado de inestabilidad, denotado por, es el grado de su álgebra de Lie como un haz vector en X . El grado de inestabilidad de G es entonces. Si G es un grupo algebraico y E es un G -torsor, entonces el grado de inestabilidad de E es el grado de la forma interna de G inducida por E (que es un esquema de grupo sobre X ); es decir,. Se dice que E es semi-estable siy es estable si.
Ver también
Notas
- ^ Pilas algebraicas , ejemplo 2.3.
- ^ Behrend 1993 , Lema 4.3.1
- ^ Milne 1980 , La discusión que precede a la Proposición 4.6.
- ^ http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Oct27(Higgs).pdf
- ^ http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXIV-Borel.pdf
Referencias
- Behrend, K. La fórmula de seguimiento de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales. Tesis doctoral.
- Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas , archivado desde el original el 5 de mayo de 2008
- Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton Mathematical Series, 33 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, MR 0559531
Otras lecturas
- Brian Conrad, [ http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Teoremas de finitud para grupos algebraicos sobre campos de funciones]