En matemáticas , se introduce el axioma de pegado para definir lo que es una gavilla. en un espacio topológico debe satisfacer, dado que se trata de una gavilla , que es por definición un funtor contravariante
a una categoría que inicialmente se toma como categoría de conjuntos . Aquíes el orden parcial de los conjuntos abiertos deordenados por mapas de inclusión ; y considerado como una categoría en la forma estándar, con un morfismo único
Si es un subconjunto de, y ninguno de otro modo.
Como se expresa en el artículo de la gavilla , hay un cierto axioma de quedebe satisfacer, para cualquier cubierta abierta de un conjunto abierto de. Por ejemplo, dados conjuntos abiertos y con unión e intersección , la condición requerida es que
- es el subconjunto de Con igual imagen en
En un lenguaje menos formal, una sección de encima está igualmente bien dado por un par de secciones: en y respectivamente, que 'concuerdan' en el sentido de que y tener una imagen común en bajo los respectivos mapas de restricción
y
- .
El primer gran obstáculo en la teoría de la gavilla es ver que este axioma de pegar o parchear es una abstracción correcta de la idea habitual en situaciones geométricas. Por ejemplo, un campo vectorial es una sección de un paquete tangente en una variedad suave ; esto dice que un campo vectorial en la unión de dos conjuntos abiertos es (ni más ni menos que) campos vectoriales en los dos conjuntos que coinciden donde se superponen.
Dada esta comprensión básica, hay más problemas en la teoría, y algunos se abordarán aquí. Una dirección diferente es la de la topología de Grothendieck , y otra más es el estado lógico de la "existencia local" (véase la semántica de Kripke-Joyal ).
Eliminar restricciones en C
Para reformular esta definición de una manera que funcione en cualquier categoría. que tiene suficiente estructura, notamos que podemos escribir los objetos y morfismos involucrados en la definición anterior en un diagrama que llamaremos (G), por "pegar":
Aquí el primer mapa es producto de los mapas de restricción.
y cada par de flechas representa las dos restricciones
y
- .
Vale la pena señalar que estos mapas agotan todos los posibles mapas de restricción entre , la , y el .
La condición para ser una gavilla es exactamente eso es el límite del diagrama. Esto sugiere la forma correcta del axioma de pegado:
- Una gavilla es una gavilla si para cualquier conjunto abierto y cualquier colección de sets abiertos cuya unión es , es el límite del diagrama (G) anterior.
Una forma de entender el axioma de pegar es notar que "desaplicar" a (G) produce el siguiente diagrama:
Aquí es el colimit de este diagrama. El axioma de pegado dice que convierte colimits de tales diagramas en límites.
Gavillas sobre la base de conjuntos abiertos.
En algunas categorías, es posible construir una gavilla especificando solo algunas de sus secciones. Específicamente, dejeser un espacio topológico con base . Podemos definir una categoría O ′ ( X ) como la subcategoría completa de cuyos objetos son los . Una gavilla B en con valores en es un functor contravariante
que satisface el axioma de pegado para conjuntos en . Es decir, en una selección de conjuntos abiertos de, especifica todas las secciones de un haz, y en los otros conjuntos abiertos, es indeterminado.
Las poleas B son equivalentes a las poleas (es decir, la categoría de las poleas es equivalente a la categoría de las poleas B). [1] Claramente una gavilla enpuede limitarse a una gavilla B. En la otra dirección, dada una gavilla B debemos determinar las secciones de en los otros objetos de . Para hacer esto, tenga en cuenta que para cada conjunto abierto, podemos encontrar una colección cuya unión es . Hablando categóricamente, esta elección hace el colimit de la subcategoría completa de cuyos objetos son . Desde es contravariante, definimos ser el límite de lacon respecto a los mapas de restricción. (Aquí debemos asumir que este límite existe en.) Si es un conjunto abierto básico, entonces es un objeto terminal de la subcategoría anterior de , y por lo tanto . Por lo tanto, se extiende a una gavilla en . Se puede verificar que es una gavilla, esencialmente porque cada elemento de cada cubierta abierta de es una unión de elementos base (por la definición de una base), y cada intersección por pares de elementos en una cubierta abierta de es una unión de elementos de base (nuevamente por la definición de una base).
La lógica de C
Las primeras necesidades de la teoría de las gavillas fueron las gavillas de grupos abelianos ; así que tomando la categoríaya que la categoría de grupos abelianos era natural. En aplicaciones a la geometría, por ejemplo , variedades complejas y geometría algebraica , la idea de un haz de anillos locales es central. Sin embargo, esto no es exactamente lo mismo; se habla en lugar de un espacio anillado localmente , porque no es cierto, excepto en casos triviales, que tal gavilla sea un functor en una categoría de anillos locales . Son los tallos de la gavilla los que son anillos locales, no las colecciones de secciones (que son anillos , pero en general no están cerca de ser locales ). Podemos pensar en un espacio anillado localmente como una familia parametrizada de anillos locales, dependiendo de en .
Una discusión más cuidadosa disipa cualquier misterio aquí. Se puede hablar libremente de un haz de grupos abelianos, o anillos, porque son estructuras algebraicas (definidas, si se insiste, por una firma explícita ). Cualquier categoríatener productos finitos apoya la idea de un objeto de grupo , que algunos prefieren simplemente llamar a un grupo en . En el caso de este tipo de estructura puramente algebraica, podemos hablar ya sea de una gavilla que tienen valores en la categoría de grupos abelianos, o un grupo abeliano en la categoría de los haces de conjuntos ; realmente no importa.
En el caso del anillo local, sí importa. A nivel fundamental, debemos utilizar el segundo estilo de definición, para describir lo que significa un anillo local en una categoría. Ésta es una cuestión lógica: los axiomas para un anillo local requieren el uso de cuantificación existencial , en la forma que para cualquier en el ring, uno de y es invertible . Esto permite especificar qué debe ser un "anillo local en una categoría", en el caso de que la categoría admita suficiente estructura.
Gavilla
Para dar la vuelta a una gavilla determinada en una gavilla , existe un dispositivo estándar llamado sheafification o sheaving . La intuición aproximada de lo que se debe hacer, al menos para un conjunto previo de conjuntos, es introducir una relación de equivalencia, que hace que los datos equivalentes dados por diferentes cubiertas sobre las superposiciones al refinar las cubiertas. Por lo tanto, un enfoque es ir a los tallos y recuperar el espacio de la gavilla de la mejor gavilla posible. producido desde .
Este uso del lenguaje sugiere fuertemente que estamos tratando aquí con functores adjuntos . Por lo tanto, tiene sentido observar que las gavillas enforman una subcategoría completa de los pre-despejes en. En eso está implícita la afirmación de que un morfismo de gavillas no es más que una transformación natural de las gavillas, consideradas como functores. Por lo tanto, obtenemos una caracterización abstracta de la gavilla como adjunta a la inclusión. En algunas aplicaciones, naturalmente, se necesita una descripción.
En un lenguaje más abstracto, las gavillas de forman una subcategoría reflectante de los pre-ondas (Mac Lane– Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). En la teoría de topos , para una topología de Lawvere-Tierney y sus haces, hay un resultado análogo (ibid. P. 227).
Otros axiomas de pegado
El axioma de encolado de la teoría de la gavilla es bastante general. Se puede notar que el axioma de Mayer-Vietoris de la teoría de la homotopía , por ejemplo, es un caso especial.
Ver también
- Esquemas de encolado
Notas
- ^ Vakil, Math 216: Fundamentos de la geometría algebraica , 2.7.
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .