Las coordenadas de Gullstrand-Painlevé son un conjunto particular de coordenadas para la métrica de Schwarzschild , una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describen un agujero negro. Las coordenadas de entrada son tales que la coordenada de tiempo sigue el tiempo adecuado de un observador en caída libre que comienza desde lejos a velocidad cero, y los cortes espaciales son planos. No hay singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild (horizonte de eventos). Los salientes son simplemente el tiempo inverso de las coordenadas entrantes (el tiempo es el tiempo adecuado a lo largo de las partículas salientes que alcanzan el infinito con velocidad cero).
La solución se propuso de forma independiente por Paul Painlevé en 1921 [1] y Allvar Gullstrand [2] en 1922. Se no se muestra explícitamente hasta 1933 en Lemaître papel 's [3] que estas soluciones eran simplemente transformaciones de coordenadas de la solución de Schwarzschild habitual, aunque Einstein inmediatamente creyó que eso era cierto.
Derivación
La derivación de coordenadas GP requiere definir los siguientes sistemas de coordenadas y comprender cómo se interpretan los datos medidos para eventos en un sistema de coordenadas en otro sistema de coordenadas.
Convención: Las unidades de las variables están todas geometrizadas . El tiempo y la masa tienen unidades en metros. La velocidad de la luz en el espacio-tiempo plano tiene un valor de 1. La constante gravitacional tiene un valor de 1. La métrica se expresa en la convención de signos + −−− .
Coordenadas de Schwarzschild
Un observador de Schwarzschild es un observador lejano o un contador. No mide directamente eventos que ocurren en diferentes lugares. En cambio, está lejos del agujero negro y los eventos. Se contrata a observadores locales de los eventos para que realicen mediciones y le envíen los resultados. El contable recopila y combina los informes de varios lugares. Los números de los informes se traducen en datos en coordenadas de Schwarzschild, que proporcionan un medio sistemático para evaluar y describir los eventos a nivel mundial. Así, el físico puede comparar e interpretar los datos de forma inteligente. Puede encontrar información significativa a partir de estos datos. La forma de Schwarzschild de la métrica de Schwarzschild usando coordenadas de Schwarzschild viene dada por
dónde
- G = 1 = c
- t , r , θ , φ son las coordenadas de Schwarzschild,
- M es la masa del agujero negro.
Coordenadas GP
Defina una nueva coordenada de tiempo por
para alguna función arbitraria . Sustituyendo en la métrica de Schwarzschild se obtiene
dónde . Si ahora elegimos tal que el término multiplicar es la unidad, obtenemos
y la métrica se convierte en
La métrica espacial (es decir, la restricción de la métrica en la superficie donde es constante) es simplemente la métrica plana expresada en coordenadas polares esféricas. Esta métrica es regular a lo largo del horizonte donde r = 2M , ya que, aunque el término temporal va a cero, el término fuera de la diagonal en la métrica sigue siendo distinto de cero y asegura que la métrica aún sea invertible (el determinante de la métrica es).
La función es dado por
dónde . La funciónes claramente singular en r = 2M como debe ser para eliminar esa singularidad en la métrica de Schwarzschild.
Movimiento de gota de lluvia
Defina una gota de lluvia como un objeto que se sumerge radialmente hacia un agujero negro desde el reposo en el infinito. En las coordenadas de Schwarzschild, la velocidad de una gota de lluvia viene dada por
- La velocidad tiende a 0 cuando r se acerca al horizonte de eventos. La gota de lluvia parece haber disminuido a medida que se acerca al horizonte de eventos y se detuvo en el horizonte de eventos según lo medido por el contador. De hecho, un observador fuera del horizonte de eventos vería que la gota de lluvia se precipita cada vez más lentamente. Sus imágenes cambiaron infinitamente al rojo y nunca atravesaron el horizonte de eventos. Sin embargo, el contable no mide físicamente la velocidad directamente. Traduce los datos transmitidos por el observador de caparazón en valores de Schwarzschild y calcula la velocidad. El resultado es solo una entrada contable.
En coordenadas GP, la velocidad viene dada por
- La velocidad de la gota de lluvia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio y es igual a la velocidad de escape newtoniana negativa . En lugares muy alejados del agujero negro, la velocidad es extremadamente pequeña. A medida que la gota de lluvia se precipita hacia el agujero negro, la velocidad aumenta. En el horizonte de eventos, la velocidad tiene el valor 1. No hay discontinuidad o singularidad en el horizonte de eventos.
- Dentro del horizonte de eventos, la velocidad aumenta a medida que la gota de lluvia se acerca cada vez más a la singularidad. Finalmente, la velocidad se vuelve infinita en la singularidad. Como se muestra a continuación, la velocidad es siempre menor que la velocidad de la luz. Es posible que la ecuación no prediga correctamente los resultados en la singularidad y muy cerca de ella, ya que la verdadera solución puede ser bastante diferente cuando se incorpora la mecánica cuántica.
- A pesar del problema con la singularidad, todavía es posible calcular matemáticamente el tiempo de viaje de la gota de lluvia desde el horizonte hasta el centro del agujero negro.
Integre la ecuación de movimiento:
- El resultado es
Usando este resultado para la velocidad de la gota de lluvia podemos encontrar el tiempo adecuado a lo largo de la trayectoria de la gota de lluvia en términos del tiempo . Tenemos
Es decir, a lo largo de la trayectoria de las gotas de lluvia, el transcurso del tiempo es exactamente el momento adecuado a lo largo de la trayectoria. Se podrían haber definido las coordenadas GP con este requisito, en lugar de exigir que las superficies espaciales fueran planas.
Un conjunto de coordenadas estrechamente relacionado son las coordenadas de Lemaître, en las que la coordenada "radial" se elige para que sea constante a lo largo de las trayectorias de las gotas de lluvia. Dado que r cambia a medida que caen las gotas de lluvia, esta métrica depende del tiempo, mientras que la métrica GP es independiente del tiempo.
La métrica obtenida si, en lo anterior, tomamos la función f (r) como el negativo de lo que elegimos anteriormente, también se llama sistema de coordenadas GP. El único cambio en la métrica es el signo de cambios entre términos. Esta métrica es regular para las gotas de lluvia que salen, es decir, las partículas que salen del agujero negro viajando hacia afuera con una velocidad de escape justa, de modo que su velocidad en el infinito es cero. En las coordenadas GP habituales, tales partículas no se pueden describir para r <2M . Tienen un valor cero paraen r = 2M . Esta es una indicación de que el agujero negro de Schwarzschild tiene dos horizontes, un horizonte pasado y un horizonte futuro. La forma original de las coordenadas GP es regular en el horizonte futuro (donde las partículas caen cuando caen en un agujero negro), mientras que la versión negativa alternativa es regular en el horizonte pasado (de donde las partículas salen del agujero negro si lo hacen). entonces).
Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son regulares en ambos horizontes a expensas de hacer que la métrica dependa en gran medida de la coordenada de tiempo.
Velocidades de la luz
Suponga movimiento radial. Por la luz, Por lo tanto,
- En lugares muy alejados del agujero negro, La velocidad de la luz es 1, la misma que en la relatividad especial.
- En el horizonte de eventos, la velocidad de la luz que brilla hacia afuera desde el centro del agujero negro es No puede escapar del horizonte de sucesos. En cambio, se atasca en el horizonte de eventos. Dado que la luz se mueve más rápido que todas las demás, la materia solo puede moverse hacia adentro en el horizonte de eventos. Todo dentro del horizonte de eventos está oculto al mundo exterior.
- Dentro del horizonte de eventos, el observador de lluvia mide que la luz se mueve hacia el centro con una velocidad superior a 2. Esto es plausible. Incluso en relatividad especial, la velocidad adecuada de un objeto en movimiento es
- Hay dos puntos importantes a considerar:
- Ningún objeto debe tener una velocidad mayor que la velocidad de la luz medida en el mismo marco de referencia. Por tanto, se conserva el principio de causalidad. De hecho, la velocidad de la gota de lluvia es menor que la de la luz:
- El tiempo de viaje de la luz que brilla hacia adentro desde el horizonte de eventos hasta el centro del agujero negro se puede obtener integrando la ecuación para la velocidad de la luz,
El resultado es
- El tiempo de viaje de la luz para un agujero negro estelar con un tamaño típico de 3 masas solares es de aproximadamente 11 microsegundos.
- Ignorando los efectos de la rotación, para Sagitario A * , el agujero negro supermasivo que reside en el centro de la Vía Láctea , con una masa de 3,7 millones de masas solares, el tiempo de viaje de la luz es de unos 14 segundos.
- El agujero negro supermasivo en el centro de Messier 87 , una galaxia elíptica gigante en el cúmulo de Virgo , es el agujero negro más grande conocido. Tiene una masa de aproximadamente 3 mil millones de masas solares. La luz tardaría aproximadamente 3 horas en viajar a la singularidad central de un agujero negro tan supermasivo, y para la gota de lluvia, 5 horas.
La visión del universo de un observador de la lluvia
¿Cómo se ve el universo visto por un observador de lluvia que se sumerge en el agujero negro? [4] La vista se puede describir mediante las siguientes ecuaciones:
dónde
- son los ángulos de visión del observador de la lluvia y del observador de la concha con respecto a la dirección radial hacia afuera.
- es el ángulo entre la estrella distante y la dirección radial hacia afuera.
- es el parámetro de impacto. Cada rayo de luz entrante se puede rastrear hasta un rayo correspondiente en el infinito. El parámetro de impacto para el rayo de luz entrante es la distancia entre el rayo correspondiente en el infinito y un rayo paralelo a él que se sumerge directamente en el agujero negro.
Debido a la simetría esférica, la trayectoria de la luz siempre se encuentra en un plano que pasa por el centro de la esfera. Es posible simplificar la métrica asumiendo .
El parámetro de impacto se puede calcular conociendo la coordenada r del observador de lluvia y ángulo de visión . Entonces, el ángulo real de la estrella distante, se determina integrando numéricamente de hasta el infinito. A la derecha se muestra un gráfico de los resultados de la muestra.
- A r / M = 500, el agujero negro todavía está muy lejos. Subtiende un ángulo diametral de ~ 1 grado en el cielo. Las estrellas no se distorsionan mucho por la presencia del agujero negro, a excepción de las estrellas directamente detrás de él. Debido a las lentes gravitacionales , estas estrellas obstruidas ahora se desvían 5 grados de la parte posterior. Entre estas estrellas y el agujero negro hay una banda circular de imágenes secundarias de las estrellas. Las imágenes duplicadas son fundamentales para la identificación del agujero negro.
- A r / M = 30, el agujero negro se ha vuelto mucho más grande, abarcando un ángulo diametral de ~ 15 grados en el cielo. La banda de imágenes secundarias también ha aumentado a 10 grados. Ahora es posible encontrar imágenes terciarias tenues en la banda, que son producidas por los rayos de luz que ya han dado vueltas alrededor del agujero negro. Las imágenes primarias se distribuyen más estrechamente en el resto del cielo. El patrón de distribución es similar al exhibido anteriormente.
- En r / M = 2, el horizonte de sucesos, el agujero negro ocupa ahora una parte sustancial del cielo. El observador de lluvia vería un área de hasta 42 grados desde la dirección radial hacia adentro que está completamente oscura. La banda de imágenes secundarias y terciarias, en lugar de aumentar, ha disminuido de tamaño a 5 grados. El efecto de aberración es ahora bastante dominante. La velocidad de hundimiento ha alcanzado la velocidad de la luz. El patrón de distribución de las imágenes primarias está cambiando drásticamente. Las imágenes primarias se están desplazando hacia el límite de la banda. El borde cerca de la banda ahora está lleno de estrellas. Debido al efecto Doppler , la imagen principal de las estrellas que originalmente estaban ubicadas detrás del observador de lluvia tiene sus imágenes sensiblemente desplazadas hacia el rojo, mientras que las que estaban delante están desplazadas hacia el azul y parecen muy brillantes.
- En r / M = 0,001, la curva del ángulo de la estrella distante frente al ángulo de visión parece formar un ángulo recto en el ángulo de visión de 90 grados. Casi todas las imágenes de estrellas están agrupadas en un anillo estrecho de 90 grados desde la dirección radial hacia adentro. Entre el anillo y la dirección radialmente hacia adentro se encuentra el enorme agujero negro. En el lado opuesto, solo algunas estrellas brillan débilmente.
- A medida que el observador de la lluvia se acerca a la singularidad, , y . La mayoría de las estrellas y sus imágenes causadas por múltiples órbitas de luz alrededor del agujero negro se comprimen en una banda estrecha en el ángulo de visión de 90 °. El observador ve un magnífico anillo brillante de estrellas que divide el cielo oscuro.
Historia
Tanto Painlevé como Gulstrand utilizaron esta solución para argumentar que la teoría de Einstein era incompleta en el sentido de que proporcionaba múltiples soluciones para el campo gravitacional de un cuerpo esférico y, además, proporcionaba una física diferente (argumentaron que las longitudes de las varillas a veces podían ser más largas y otras más cortas en la radial que la tangencial). El "truco" de la propuesta de Painlevé fue que ya no se apegó a una forma cuadrática (estática) completa, sino que permitió un producto espacio-temporal cruzado haciendo que la forma métrica ya no sea estática sino estacionaria y ya no simétrica en la dirección sino orientada preferentemente.
En un segundo artículo más extenso (14 de noviembre de 1921), [5] Painlevé explica cómo derivó su solución resolviendo directamente las ecuaciones de Einstein para una forma genérica esféricamente simétrica de la métrica. El resultado, la ecuación (4) de su artículo, dependía de dos funciones arbitrarias de la coordenada r que producían un doble infinito de soluciones. Ahora sabemos que estos simplemente representan una variedad de opciones tanto de tiempo como de coordenadas radiales.
Painlevé le escribió a Einstein para presentarle su solución e invitó a Einstein a París para un debate. En la carta de respuesta de Einstein (7 de diciembre), [6] se disculpó por no estar en condiciones de visitar pronto y explicó por qué no estaba satisfecho con los argumentos de Painlevé, enfatizando que las coordenadas en sí mismas no tienen significado. Finalmente, Einstein llegó a París a principios de abril. El 5 de abril de 1922, en un debate en el "Collège de France" [7] [8] con Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan, De Donder, Hadamard, Langevin y Nordmann sobre "los potenciales infinitos", Einstein, desconcertado por el término cruzado no cuadrático en el elemento de línea, rechazó la solución Painlevé.
Ver también
Referencias
- ^ Paul Painlevé, "La mécanique classique et la théorie de la relativité", CR Acad. Sci. (París) 173, 677–680 (1921) .
- ^ Gullstrand, Allvar (1922). "Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (8): 1–15.
- ^ G. Lemaitre (1933). "L'Univers en expansion". Annales de la Société Scientifique de Bruxelles . A53 : 51–85. Código Bibliográfico : 1933ASSB ... 53 ... 51L .
- ^ Tony Rothman; Richard Matzner; Bill Unruh (1985). "Grandes ilusiones: más conversaciones en el borde del espacio-tiempo". En Tony Rothman (ed.). Fronteras de la física moderna . Publicaciones de Dover (Nueva York). págs. 49–81.
- ^ "La gravitación en la mécanique de Newton y en la mécanique d'Einstein" CR Acad. Sci. (París) 173, 873-886 (1921) .
- ^ Diana Buchwald; et al., eds. (2009). Los artículos recopilados de Albert Einstein . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 368–370.
- ^ Jean Eisenstaedt (1987). "La primera interpretación de la solución de Schwarzschild". En Don Howqard; John Stachel (eds.). Einstein y la historia de la relatividad general . Birkhauser (Berlín). págs. 222-223.
- ^ Jean Eisenstaedt (1982). "Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915-1923)". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 27 : 157-198. Código bibliográfico : 1982AHES ... 27..157E . doi : 10.1007 / BF00348347 (inactivo el 31 de mayo de 2021).Mantenimiento de CS1: DOI inactivo a partir de mayo de 2021 ( enlace )
- Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
enlaces externos
- El modelo del río de los agujeros negros
- Video del Dr. Andrew JS Hamilton "Inside Black Holes"
- Simulación de la órbita de un agujero negro en coordenadas GP.