Extensión HNN

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Introducido en un artículo de 1949 Incrustando teoremas para grupos ^[1] por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , incrusta un grupo G dado en otro grupo G ' , de tal manera que dos subgrupos isomorfos dados de G son conjugados (a través de un isomorfismo dado) en G' .

Sea G un grupo con presentación , y sea un isomorfismo entre dos subgrupos de G . Sea t un nuevo símbolo que no está en S y defina${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$${\ estilo de visualización \ alfa \ dos puntos H \ a K}$

El grupo se llama la extensión HNN de G relativa a α. El grupo original G se denomina grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se llama letra estable .${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Dado que la presentación para contiene todos los generadores y relaciones de la presentación para G , existe un homomorfismo natural, inducido por la identificación de generadores, que lleva a G a . Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G en . Una consecuencia es que dos subgrupos isomorfos de un grupo dado siempre están conjugados en algún sobregrupo ; el deseo de mostrar esto fue la motivación original para la construcción.${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de la forma normal conocido como Lema de Britton . ^[2] Sea como arriba y sea w el siguiente producto en :${\displaystyle G*_{\alpha }}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

luego en .${\ estilo de visualización con \ neq 1}$${\displaystyle G*_{\alpha }}$

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