Subgrupo

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , dado un grupo G bajo una operación binaria ∗, un subconjunto H de G se llama subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo sobre H . Esto a menudo se denota H ≤ G , se lee como " H es un subgrupo de G".

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, H ≠ G ). Esto a menudo se representa notacionalmente por H < G , que se lee como " H es un subgrupo propio de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser propio (es decir, H ≠ { e }). ^[1]^[2]

Las mismas definiciones se aplican de manera más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo se ocupará de subgrupos de grupos.

Dado un subgrupo H y algo de a en G, definimos la clase lateral izquierda aH = { ah : h en H }. Como a es invertible, la función φ : H → aH dada por φ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido precisamente en una clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a ₁ ~ a ₂si y solo si a ₁⁻¹un ₂ está en H . El número de clases laterales izquierdas de H se denomina índice de H en G y se indica mediante [ G : H ] .

donde | G | y | H | denote los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser divisor de | G |. ^[6]^[7]

Las clases laterales derechas se definen de manera análoga: Ha = { ha : h en H }. Son también las clases de equivalencia para una adecuada relación de equivalencia y su número es igual a [ G : H ] .

G es el grupo , los enteros mod 8 bajo suma. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a . Hay cuatro clases laterales izquierdas de H: H en sí mismo, 1+H, 2+H y 3+H (escrito usando notación aditiva ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. El índice [G : H] es 4.