Descomposición de valores singulares de orden superior

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En álgebra multilineal , la descomposición de valor singular de orden superior ( HOSVD ) de un tensor es una descomposición de Tucker ortogonal específica . Puede considerarse como una generalización de la descomposición de valores singulares de la matriz . El HOSVD tiene aplicaciones en gráficos por computadora , aprendizaje automático , computación científica y procesamiento de señales . Algunos ingredientes clave del HOSVD se remontan a FL Hitchcock en 1928, ^[1] pero fue LR Tucker quien desarrolló para tensores de tercer orden el generalDescomposición de Tucker en la década de 1960, ^{[2] [3] [4]} incluido el HOSVD. El HOSVD como descomposición por derecho propio fue defendido además por L. De Lathauwer et al. ^[5] en 2000. También se han propuesto variantes robustas y basadas en la norma L1 de HOSVD. ^{[6] [7] [8] [9]}

Como el HOSVD se estudió en muchos campos científicos, a veces se lo conoce históricamente como descomposición de valor singular multilineal , SVD en modo m o SVD en cubos, y en ocasiones se identifica incorrectamente con una descomposición de Tucker.

Para el propósito de este artículo, se supone que el tensor abstracto está dado en coordenadas con respecto a alguna base como una matriz multidimensional , también denotado por , en , donde d es el orden del tensor y es o o .${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle F ^ {n_ {1} \ times n_ {2} \ times \ cdots \ times n_ {d}}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Sea una matriz unitaria que contiene una base de los vectores singulares izquierdos del factor estándar- k aplanamiento de tal que la j- ésima columna de corresponde al j- ésimo valor singular más grande de . Observe que la matriz de factores no depende de la libertad particular de elección en la definición del factor estándar- k aplanamiento. Por las propiedades de la multiplicación multilineal , tenemos${\ Displaystyle U_ {k} \ in F ^ {n_ {k} \ times n_ {k}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {(k)}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {j} ^ {k}}$${\ Displaystyle U_ {k}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {(k)}}$ ${\ Displaystyle U_ {k}}$

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