En matemáticas, la descomposición de Tucker descompone un tensor en un conjunto de matrices y un pequeño tensor central. Lleva el nombre de Ledyard R. Tucker [1] aunque se remonta a Hitchcock en 1927. [2] Inicialmente descrito como una extensión de tres modos del análisis factorial y el análisis de componentes principales, en realidad puede generalizarse al análisis de modo superior, que es también llamada descomposición de valores singulares de orden superior ( HOSVD ).
Puede considerarse como un modelo PARAFAC (análisis de factores paralelos) más flexible . En PARAFAC, el tensor central está restringido a ser "diagonal".
En la práctica, la descomposición de Tucker se utiliza como herramienta de modelado. Por ejemplo, se utiliza para modelar datos de tres vías (o una forma superior) por medio de un número relativamente pequeño de componentes para cada uno de los tres o más modos, y los componentes están vinculados entre sí por tres (o más) ) forma matriz de núcleo. Los parámetros del modelo se estiman de tal manera que, dados números fijos de componentes, los datos modelados se asemejan óptimamente a los datos reales en el sentido de mínimos cuadrados. El modelo ofrece un resumen de la información de los datos, de la misma manera que lo hace el análisis de componentes principales para los datos bidireccionales.
Para un tensor de tercer orden , dónde es cualquiera o , La descomposición de Tucker se puede denotar de la siguiente manera,
Hay dos casos especiales de descomposición de Tucker:
Tucker1 : si y son identidad, entonces
Tucker2 : si es identidad, entonces .
La descomposición RESCAL [3] puede verse como un caso especial de Tucker donde es identidad y es igual a .
Ver también
Referencias
- ^ Ledyard R. Tucker (septiembre de 1966). "Algunas notas matemáticas sobre el análisis factorial de tres modos". Psychometrika . 31 (3): 279–311. doi : 10.1007 / BF02289464 . PMID 5221127 .
- ^ FL Hitchcock (1927). "La expresión de un tensor o una poliada como suma de productos". Revista de Matemáticas y Física . 6 : 164-189.
- ^ Níquel, Maximiliano; Tresp, Volker; Kriegel, Hans-Peter (28 de junio de 2011). Un modelo de tres vías para el aprendizaje colectivo sobre datos multirrelacionales . ICML. 11 . págs. 809–816.