En el análisis matemático , el teorema de Tauberian de Haar [1], que lleva el nombre de Alfréd Haar , relaciona el comportamiento asintótico de una función continua con las propiedades de su transformada de Laplace . Está relacionado con la formulación integral del teorema tauberiano de Hardy-Littlewood .
William Feller da la siguiente forma simplificada para este teorema [2]
Suponer que es una función continua y no negativa para , teniendo transformada de Laplace finita
por . Luego está bien definido para cualquier valor complejo de con . Suponer que verifica las siguientes condiciones:
1. Para la función (que es regular en el semiplano derecho ) tiene valores límite continuos como , por y , además para puede estar escrito como
dónde tiene derivadas finitas y está limitado en cada intervalo finito;
2. La integral
converge uniformemente con respecto a para fijo y ;
3. como , uniformemente con respecto a ;
4. tienden a cero como ;
5. Las integrales
- y
convergen uniformemente con respecto a para fijo , y .
Bajo estas condiciones
En [3] se ofrece una versión más detallada .
Suponer que es una función continua para , haciendo que Laplace se transforme
con las siguientes propiedades
1. Para todos los valores con la función es normal ;
2. Para todos , la función , considerada en función de la variable , tiene la propiedad de Fourier ("Fourierschen Charakter besitzt") definida por Haar como para cualquier hay un valor tal que para todos
cuando sea o .
3. La función tiene un valor límite para de la forma
dónde y es un veces función diferenciable de y tal que la derivada
está limitada a cualquier intervalo finito (para la variable )
4. Las derivadas
por tener límite cero para y para tiene la propiedad de Fourier como se define arriba.
5. Para lo suficientemente grande la siguiente espera
Bajo las hipótesis anteriores tenemos la siguiente fórmula asintótica