El sistema dinámico de Hadamard
En física y matemáticas , el sistema dinámico de Hadamard (también llamado billar de Hadamard o modelo de Hadamard-Gutzwiller [1] ) es un sistema dinámico caótico , un tipo de billar dinámico . Introducido por Jacques Hadamard en 1898, [2] y estudiado por Martin Gutzwiller en la década de 1980, [3] [4] es el primer sistema dinámico probado como caótico .
El sistema considera el movimiento de una partícula libre (sin fricción ) sobre la superficie de Bolza , es decir, una superficie bidimensional de género dos (una rosquilla con dos agujeros) y curvatura negativa constante ; esta es una superficie compacta de Riemann . Hadamard pudo demostrar que la trayectoria de cada partícula se aleja una de otra: que todas las trayectorias tienen un exponente de Lyapunov positivo .
Frank Steiner argumenta que el estudio de Hadamard debe considerarse el primer examen de un sistema dinámico caótico y que Hadamard debe considerarse el primer descubridor del caos. [5] Señala que el estudio fue ampliamente difundido, y considera el impacto de las ideas en el pensamiento de Albert Einstein y Ernst Mach .
El sistema es particularmente importante porque en 1963, Yakov Sinai , al estudiar los billares de Sinai como modelo del conjunto clásico de un gas de Boltzmann-Gibbs, pudo demostrar que el movimiento de los átomos en el gas sigue las trayectorias en el Hadamard. sistema dinámico.
El movimiento estudiado es el de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre la superficie, es decir, una que tiene el hamiltoniano
donde m es la masa de la partícula, son las coordenadas en la variedad, son los momentos conjugados :
