En geometría integral (también llamada teoría de la probabilidad geométrica), el teorema de Hadwiger caracteriza las valoraciones de los cuerpos convexos en R n . Fue probado por Hugo Hadwiger .
Introducción
Valoraciones
Sea K n la colección de todos los conjuntos convexos compactos en R n . Una valoración es una función v : K n → R tal que v (∅) = 0 y, para todo S , T ∈ K n para el cual S ∪ T ∈ K n ,
Una valoración se llama continua si es continua con respecto a la métrica de Hausdorff . Una valoración se llama invariante bajo movimientos rígidos si v ( φ ( S )) = v ( S ) siempre que S ∈ K n y φ sea una traslación o una rotación de R n .
Quermassintegrals
Los quermass integrales W j : K n → R se definen mediante la fórmula de Steiner
donde B es la bola euclidiana. Por ejemplo, W 0 es el volumen, W 1 es proporcional a la medida de la superficie , W n -1 es proporcional al ancho medio y W n es la constante Vol n ( B ).
W j es una valoración homogénea de grado n - j , es decir,
Declaración
Cualquier valoración continua v sobre K n que sea invariante bajo movimientos rígidos se puede representar como
Corolario
Cualquier valoración continua v sobre K n que sea invariante bajo movimientos rígidos y homogénea de grado j es un múltiplo de W n - j .
Referencias
Una explicación y una prueba del teorema de Hadwiger se pueden encontrar en
- Klain, DA; Rota, G.-C. (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. Señor 1608265 .
Beifang Chen dio una prueba elemental y autónoma en
- Chen, B. (2004). "Una prueba elemental simplificada del teorema del volumen de Hadwiger". Geom. Dedicata . 105 : 107-120. doi : 10.1023 / b: geom.0000024665.02286.46 . Señor 2057247 .