En geometría , una valoración es una función finitamente aditiva en una colección de subconjuntos admisibles de un conjunto fijocon valores en un semigrupo abeliano . Por ejemplo, la medida de Lebesgue es una valoración de uniones finitas de cuerpos convexos (es decir, conjuntos convexos compactos no vacíos) del espacio euclidiano.. Otros ejemplos de valoraciones sobre uniones finitas de cuerpos convexos son el área de la superficie, el ancho medio y la característica de Euler .
En el entorno geométrico, a menudo se imponen condiciones de continuidad (o suavidad) a las valoraciones, pero también hay facetas puramente discretas de la teoría. De hecho, el concepto de valoración tiene su origen en la teoría de la disección de los politopos y, en particular, en el tercer problema de Hilbert , que se ha convertido en una teoría rica, que depende en gran medida de herramientas avanzadas del álgebra abstracta.
Definición
Dejar ser un conjunto y ser una colección de subconjuntos admisibles de . Una función en con valores en un semigrupo abeliano se llama valoración si satisface
cuando sea , , , y son elementos de . Si , entonces uno siempre asume .
Ejemplos de
Algunos ejemplos comunes de los conjuntos admisibles son conjuntos convexos compactos no vacíos (cuerpos convexos) en , politopos convexos compactos en , conos convexos y poliedros compactos lisos en un colector liso .
Dejar ser un espacio vectorial de dimensión finita sobre , y deja denotar el conjunto de cuerpos convexos en .
La característica de Euler es una valuación en , y se extiende como valoración al conjunto de uniones finitas de cuerpos convexos.
Cualquier medida de Lebesgue en, restringido a cuerpos convexos, es una valoración sobre .
Entre las valoraciones derivadas del volumen se encuentran los volúmenes intrínsecos ,
dónde es una constante normalizadora y es la bola unitaria euclidiana, y más generalmente los volúmenes mixtos (con algunas entradas fijadas arbitrariamente).
El enumerador de puntos de celosía , dónde es la celosía entera, es una valoración sobre politopos de celosía.
El mapa , dónde
es la función de apoyo de , es una valoración sobre .
Valoraciones de cuerpos convexos
Una valoración sobre se dice que es invariante a la traducción si para todos y todos los cuerpos convexos .
Dejar ser dos cuerpos convexos en . Después de una elección del producto interior euclidiano, su distancia de Hausdorff es definido por
dónde denota el -barrio de . Equipado con esta métrica, es un espacio localmente compacto.
El espacio de valoraciones continuas, invariantes a la traducción en tomando valores en los números complejos , se denota por .
La topología en es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de . Equipado con la norma
dónde es un subconjunto delimitado con interior no vacío, es un espacio de Banach .
Valoraciones homogéneas
Una valoración continua invariante en la traducción se ha dicho -homogéneo si
para todos y . El subconjunto de -las valoraciones homogéneas es un subespacio vectorial de . El teorema de descomposición de McMullen [1] establece que
En particular, el grado de valoración homogénea es siempre un número entero entre y .
Las valoraciones no solo se clasifican por el grado de homogeneidad, sino también por la paridad con respecto a la reflexión a través del origen, es decir
dónde con si y solo si para todos los cuerpos convexos . Los elementos de y se dice que son pares e impares , respectivamente.
Es un hecho simple que es -dimensional y atravesado por la característica de Euler , es decir, consta de las valoraciones constantes sobre .
En 1957 Hadwiger [2] demostró que (dónde ) coincide con el -espacio dimensional de medidas de Lebesgue en .
Una valoración es simple si para todos los cuerpos convexos con . Schneider [3] en 1996 describió todas las valoraciones simples sobre: son dados por
dónde , es una función impar arbitraria en la esfera unitaria , y es la medida del área de superficie de . En particular, cualquier valoración simple es la suma de un - y un -valuación homogénea. Esto, a su vez, implica que un -La valoración homogénea está determinada únicamente por sus restricciones a todos -subespacios dimensionales.
Teoremas de incrustación
La incrustación de Klain es una inyección lineal de , el espacio de incluso -valuaciones homogéneas, en el espacio de secciones continuas de un paquete de líneas complejas canónicas sobre el Grassmannian de -subespacios lineales dimensionales de . Su construcción se basa en la caracterización de Hadwiger [2] de-valuaciones homogéneas. Si y , luego la restricción es un elemento y, según el teorema de Hadwiger, es una medida de Lebesgue. Por eso
define una sección continua del paquete de líneas sobre con fibra sobre igual a la -espacio dimensional de densidades (medidas de Lebesgue) en .
Teorema (Klain [4] ). El mapa lineal es inyectable.
Existe una inyección diferente, conocida como incrustación de Schneider, para valoraciones extrañas. Se basa en la descripción de Schneider de valoraciones simples. [3] Es una inyección lineal de, el espacio de los impares -valuaciones homogéneas, en un cierto cociente del espacio de las secciones continuas de un haz de líneas sobre la variedad de banderas parciales de pares coorientados . Su definición recuerda a la incrustación de Klain, pero más complicada. Los detalles se pueden encontrar en. [5]
La incrustación de Goodey-Weil es una inyección lineal de en el espacio de distribuciones en el -producto de la -esfera dimensional. No es más que el núcleo de Schwartz de una polarización natural que cualquier admite, es decir, como funcional en el -producto doble de , teniendo este último espacio de funciones el significado geométrico de diferencias de funciones de soporte de cuerpos convexos lisos. Para obtener más detalles, consulte. [5]
Teorema de irreductibilidad
Los teoremas clásicos de Hadwiger, Schneider y McMullen dan descripciones bastante explícitas de valoraciones que son homogéneas de grado. , , y . Pero por gradosse sabía muy poco antes del cambio de siglo XXI. La conjetura de McMullen es la afirmación de que las valoraciones
abarcan un subespacio denso de . La conjetura de McMullen fue confirmada por Alesker en una forma mucho más fuerte, que se conoció como el Teorema de Irreducibilidad:
Teorema (Alesker [6] ). Para cada, la acción natural de en los espacios y es irreductible.
La prueba del Teorema de Irreducibilidad se basa en los teoremas de incrustación de la sección anterior y la localización de Beilinson-Bernstein .
Valoraciones suaves
Una valoración se llama suave si el mapa de a es suave. En otras palabras, es suave si y solo si es un vector suave de la representación natural de en . El espacio de las valoraciones suaves es denso en ; Viene equipado con una topología natural del espacio de Fréchet, que es más fina que la inducida por.
Para cada función suave (de valor complejo) en ,
dónde denota la proyección ortogonal y es la medida de Haar, define una valoración uniforme y uniforme del grado . Se deduce del teorema de la irreductibilidad, en combinación con el teorema de Casselman-Wallach, que cualquier valoración uniforme uniforme se puede representar de esta manera. Esta representación a veces se denomina fórmula de Crofton .
Para cualquier forma diferencial suave (de valor complejo) que es invariante en todas las traducciones y cada numero , la integración sobre el ciclo normal define una valoración suave:
( 1 )
Como conjunto, el ciclo normal consiste en las normales unitarias externas a . El teorema de irreductibilidad implica que toda valoración uniforme es de esta forma.
Operaciones sobre valoraciones invariantes a la traducción
Hay varias operaciones naturales definidas en el subespacio de valoraciones suaves. . El más importante es el producto de dos valoraciones suaves. Junto con el retroceso y el empuje hacia adelante, esta operación se extiende a las valoraciones de los colectores.
Producto exterior
Dejar ser espacios vectoriales reales de dimensión finita. Existe un mapa bilineal, llamado producto exterior,
que se caracteriza únicamente por las siguientes dos propiedades:
es continuo con respecto a las topologías habituales en y .
Si y dónde y son cuerpos convexos con contorno suave y curvatura de Gauss estrictamente positiva, y y son densidades en y , luego
Producto
El producto de dos valoraciones suaves es definido por
dónde es la incrustación diagonal. El producto es un mapa continuo.
Equipado con este producto, se convierte en un álgebra graduada asociativa conmutativa con la característica de Euler como identidad multiplicativa.
Dualidad Alesker-Poincaré
Por un teorema de Alesker, la restricción del producto
es un emparejamiento no degenerado. Esto motiva la definición de la -valuación generalizada homogénea , denotada , como , topologizado con la topología débil. Por la dualidad Alesker-Poincaré, hay una inclusión densa natural .
Circunvolución
La convolución es un producto natural en . Por simplicidad, fijamos una densidad en para trivializar el segundo factor. Definir para fijo con contorno suave y curvatura de Gauss estrictamente positiva
Entonces hay una extensión única por continuidad a un mapa.
llamado la convolución. A diferencia del producto, la convolución respeta la clasificación conjunta, es decir, si , , luego .
Por ejemplo, deja denotar el volumen mixto de los cuerpos convexos . Si los cuerpos convexos en con un límite suave y una curvatura de Gauss estrictamente positiva se fijan, entonces define una valoración fluida de la titulación . La convolución de dos valoraciones de este tipo es
dónde es una constante que depende solo de .
Transformada de Fourier
La transformada de Alesker-Fourier es natural, -isomorfismo equivariante de valoraciones complejas
descubierto por Alesker y disfrutando de muchas propiedades que se asemejan a la clásica transformada de Fourier, lo que explica su nombre.
Invierte la calificación, es decir y entrelaza el producto y la convolución:
Arreglando por simplicidad una estructura euclidiana para identificar , , tenemos la identidad
En las valoraciones pares, hay una descripción simple de la transformada de Fourier en términos de la incrustación de Klain: . En particular, incluso las valoraciones con valor real siguen teniendo un valor real después de la transformada de Fourier.
Para valoraciones impares, la descripción de la transformada de Fourier es sustancialmente más complicada. A diferencia del caso par, ya no es de naturaleza puramente geométrica. Por ejemplo, no se conserva el espacio de las valoraciones impares de valor real.
Retroceso y empuje hacia adelante
Dado un mapa lineal , hay operaciones inducidas de retroceso y empujar hacia adelante . El retroceso es el más simple de los dos, dado por. Evidentemente, conserva la paridad y el grado de homogeneidad de una valoración. Tenga en cuenta que el retroceso no conserva la suavidad cuando no es inyectable.
El empuje hacia adelante es más difícil de definir formalmente. Para simplificar, fije las medidas de Lebesgue en y . El empuje hacia adelante se puede caracterizar de forma única al describir su acción sobre las valoraciones de la forma, para todos , y luego se extendió por continuidad a todas las valoraciones usando el Teorema de Irreductibilidad. Para un mapa sobreyectivo,
Para una inclusión , elige una división . Luego
De manera informal, el empuje hacia adelante es dual al retroceso con respecto a la pareja Alesker-Poincaré: para y ,
Sin embargo, esta identidad debe interpretarse con cuidado, ya que el emparejamiento solo está bien definido para realizar valoraciones sin problemas. Para obtener más detalles, consulte. [7]
Valoraciones de colectores
En una serie de artículos que comenzaron en 2006, Alesker sentó las bases de una teoría de valoraciones sobre variedades que amplía la teoría de valoraciones sobre cuerpos convexos. La observación clave que conduce a esta extensión es que a través de la integración sobre el ciclo normal ( 1 ), una valoración invariante de traslación suave puede evaluarse en conjuntos mucho más generales que los convexos. También ( 1 ) sugiere definir valoraciones suaves en general eliminando el requisito de que el formulario ser invariante a la traducción y reemplazando la medida de Lebesgue invariante a la traducción con una medida uniforme arbitraria.
Dejar ser una variedad suave n-dimensional y dejar ser el paquete coesfera de , es decir, la proyectivización orientada del paquete cotangente. Dejar denotar la colección de poliedros diferenciables compactos en . El ciclo normal de , que consiste en los co-normales externos a , es naturalmente una subvariedad de Lipschitz de dimensión .
Para facilitar la presentación asumimos de ahora en adelante que está orientado, aunque el concepto de valoraciones suaves de hecho no depende de la orientabilidad. El espacio de las valoraciones suaves en consta de funciones de la forma
dónde y puede ser arbitrario. Alesker demostró que las valoraciones suaves en subconjuntos abiertos de formar una suave gavilla sobre .
Ejemplos de
Los siguientes son ejemplos de valoraciones suaves en una variedad suave :
Si es riemanniano, luego las valoraciones de Lipschitz-Killing o los volúmenes intrínsecos son valoraciones suaves. Sies cualquier inmersión isométrica en un espacio euclidiano, entonces dónde denota los volúmenes intrínsecos habituales en (ver más abajo la definición de retroceso). La existencia de estas valoraciones es la esencia de la fórmula del tubo de Weyl. [9]
Dejar ser el espacio proyectivo complejo , y dejar denotar el Grassmanniano de todos los subespacios proyectivos complejos de dimensión fija . La función
donde la integración es con respecto a la medida de probabilidad de Haar en , es una valoración fluida. Esto se desprende del trabajo de Fu. [10]
Filtración
El espacio no admite clasificación natural en general, sin embargo lleva una filtración canónica
Aquí consiste en las medidas suaves en , y está dado por formas en el ideal generado por , dónde es la proyección canónica.
El espacio vectorial graduado asociado es canónicamente isomorfo al espacio de las secciones lisas
dónde denota el paquete de vectores sobre tal que la fibra sobre un punto es , el espacio de -valuaciones homogéneas de traslación uniforme-invariante en el espacio tangente .
Producto
El espacio admite un producto natural. Este producto es continuo, conmutativo, asociativo, compatible con la filtración:
y tiene la característica de Euler como elemento de identidad. También conmuta con la restricción a las subvariedades incrustadas y el grupo de difeomorfismo de actúa sobre por automorfismos de álgebra.
Por ejemplo, si es Riemannian, las valoraciones de Lipschitz-Killing satisfacen
La dualidad Alesker-Poincaré aún se mantiene. Para compacto dice que el maridaje , es no degenerado. Como en el caso de la traducción invariante, esta dualidad se puede utilizar para definir valoraciones generalizadas. A diferencia del caso de traducción invariante, no existe una buena definición de valoraciones continuas para valoraciones sobre variedades.
El producto de las valoraciones refleja estrechamente la operación geométrica de intersección de subconjuntos. De manera informal, considere la valoración generalizada. El producto viene dado por. Ahora se pueden obtener valoraciones suaves promediando valoraciones generalizadas de la forma, más precisamente es una valoración fluida si es una familia de difeomorfismos medidos suficientemente grande. Entonces uno tiene
Cada inmersión suave de colectores suaves induce un mapa de retroceso . Si es una incrustación, entonces
El retroceso es un morfismo de álgebras filtradas. Cada inmersión suave y adecuada define un mapa pushforward por
El pushforward también es compatible con la filtración: . Para mapas generales suaves, se puede definir retroceso y empuje hacia adelante para valoraciones generalizadas bajo algunas restricciones.
Aplicaciones en geometría integral
Dejar ser una variedad riemanniana y dejar ser un grupo de isometrías de Lie actuando transitivamente sobre el haz de esferas . Bajo estos supuestos, el espacio de -valuaciones suaves invariables en es de dimensión finita; dejarser una base. Dejar ser poliedros diferenciables en . Luego integrales de la forma son expresables como combinaciones lineales de con coeficientes independiente de y :
( 2 )
Las fórmulas de este tipo se denominan fórmulas cinemáticas . Fu demostró su existencia en esta generalidad. [10] Para las tres formas espaciales reales simplemente conectadas, es decir, la esfera, el espacio euclidiano y el espacio hiperbólico, se remontan a Blaschke , Santaló , Chern y Federer .
Describir las fórmulas cinemáticas de forma explícita suele ser un problema difícil. De hecho, ya en el paso de las formas espaciales reales a las complejas, surgen dificultades considerables que sólo recientemente han sido resueltas por Bernig, Fu y Solanes [12] [13] . La idea clave responsable de este progreso es que las fórmulas cinemáticas contienen la misma información que el álgebra de valoraciones invariantes. Para una declaración precisa, deje
ser el operador cinemático, es decir, el mapa determinado por las fórmulas cinemáticas ( 2 ). Dejar
denotan la dualidad Alesker-Poincaré, que es un isomorfismo lineal. Finalmente deja ser adjunto al mapa del producto
El teorema fundamental de la geometría integral algebraica que relaciona las operaciones sobre valoraciones con la geometría integral, establece que si se utiliza la dualidad de Poincaré para identificar con , luego :
.
Ver también
Volumen mixto
Teorema de Hadwiger
Geometría integral
Referencias
^ P. McMullen, valoraciones invariantes de traducción continua en el espacio de conjuntos convexos compactos , Arch. Matemáticas. (Basilea) 34 (1980), no. 4, 377-384
↑ a b H. Hadwiger, Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie , Springer-Verlag, Berlín-Göttingen-Heidelberg, 1957
^ a b R. Schneider, Valoraciones simples sobre cuerpos convexos , Mathematika 43 (1996), no. 1, 32-39.
^ DA Klain, Una breve prueba del teorema de caracterización de Hadwiger , Mathematika 42 (1995), no. 2, 329-339.
^ a b S. Alesker, Introducción a la teoría de valoraciones . CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 126. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2018.
^ S. Alesker, Descripción de valoraciones invariantes de traducción en conjuntos convexos con solución de la conjetura de P. McMullen . Geom. Funct. Anal. 11 (2001), núm. 2, 244–272.
^ S. Alesker, Una transformada de tipo Fourier en valoraciones invariantes en traducción en conjuntos convexos . Israel J. Math. 181 (2011), 189–294
^ S.-S. Chern, Sobre la curvatura integra en una variedad riemanniana . Ana. de Matemáticas. (2) 46 (1945), 674–684.
^ H. Weyl, sobre el volumen de los tubos . Amer. J. Math. 61 (1939), núm. 2, 461–472
^ a b J. HG Fu, Fórmulas cinemáticas en geometría integral . Indiana Univ. Matemáticas. J. 39 (1990), núm. 4, 1115-1154
^ JHG Fu, Teoría de la intersección y el producto de Alesker . Indiana Univ. Matemáticas. J. 65 (2016), núm. 4, 1347-1371.
^ A. Bernig, JHG Fu, G. Solanes, Geometría integral de formas espaciales complejas . Geom. Funct. Anal. 24 (2014), núm. 2, 403–492.
^ A. Bernig, JHG Fu, geometría integral hermitiana . Ana. de Matemáticas. (2) 173 (2011), núm. 2, 907–945.
Bibliografía
S. Alesker (2018). Introducción a la teoría de las valoraciones . Serie de conferencias regionales de CBMS sobre matemáticas, 126. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI. ISBN 978-1-4704-4359-7.
S. Alesker ; JHG Fu (2014). Geometría integral y valoraciones . Cursos avanzados en Matemáticas. CRM Barcelona. Birkhäuser / Springer, Basilea. ISBN 978-1-4704-4359-7.
DA Klain; G.-C. Rota (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Lezioni Lincee. [Conferencias de Lincei]. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-59362-X.
R. Schneider (2014). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN 978-1-107-60101-7.