Teorema de la bola peluda
El teorema de la bola peluda de la topología algebraica (a veces llamado teorema del erizo en Europa) [1] establece que no existe un campo vectorial tangente continuo que no se desvanezca en n -esferas de dimensión uniforme . [2] [3] Para la esfera ordinaria, o de 2 esferas, si f es una función continua que asigna un vector en R 3 a cada punto p en una esfera tal que f ( p ) siempre es tangente a la esfera en p, entonces hay al menos un polo, un punto donde el campo se anula (a p tal que f ( p ) = 0 ).
El teorema fue probado por primera vez por Henri Poincaré para las 2 esferas en 1885, [4] y ampliado a dimensiones superiores en 1912 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer . [5]
El teorema se ha expresado coloquialmente como "no puedes peinar una bola peluda sin crear un mechón " o "no puedes peinar el cabello de un coco". [6]
Cada cero de un campo vectorial tiene un " índice " (distinto de cero), y se puede demostrar que la suma de todos los índices en todos los ceros debe ser dos, porque la característica de Euler de la 2-esfera es dos . Por lo tanto, debe haber al menos un cero. Esta es una consecuencia del teorema de Poincaré-Hopf . En el caso del toro , la característica de Euler es 0; y es posible "peinar una rosquilla peluda". En este sentido, se deduce que para cualquier variedad bidimensional regular compacta con característica de Euler distinta de cero, cualquier campo vectorial tangente continuo tiene al menos un cero.
Un problema común en gráficos por computadora es generar un vector distinto de cero en R 3 que sea ortogonal a un vector distinto de cero dado. No existe una única función continua que pueda hacer esto para todas las entradas de vector distintas de cero. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para ver esto, considere el vector dado como el radio de una esfera y tenga en cuenta que encontrar un vector distinto de cero ortogonal al dado es equivalente a encontrar un vector distinto de cero que sea tangente a la superficie de esa esfera donde toca el radio. Sin embargo, el teorema de la bola peluda dice que no existe una función continua que pueda hacer esto para cada punto de la esfera (equivalentemente, para cada vector dado).
Hay un argumento estrechamente relacionado de la topología algebraica , que utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz . Dado que los números de Betti de una esfera de 2 son 1, 0, 1, 0, 0, ... el número de Lefschetz (traza total en la homología ) del mapeo de identidad es 2. Al integrar un campo vectorial obtenemos (al menos un pequeña parte de) un grupo de un parámetro de difeomorfismos en la esfera; y todas las asignaciones en él son homotópicasa la identidad. Por lo tanto, todos tienen el número de Lefschetz 2 también. Por lo tanto, tienen puntos fijos (ya que el número de Lefschetz es distinto de cero). Se necesitaría algo más de trabajo para demostrar que esto implica que en realidad debe haber un cero del campo vectorial. Sugiere la afirmación correcta del teorema del índice de Poincaré-Hopf más general .
