Irregularidad de una superficie

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En matemáticas, la irregularidad de una superficie compleja X es el número de Hodge , generalmente denotado por q. ^[1] La irregularidad de una superficie algebraica se define a veces como este número de Hodge, ya veces se define como la dimensión de la variedad Picard , que es la misma en el carácter 0 pero puede ser menor en el carácter positivo. ^[2]${\ Displaystyle h ^ {0,1} = \ dim H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$

El nombre "irregularidad" proviene del hecho de que para las primeras superficies investigadas en detalle, las superficies complejas lisas en P ³ , la irregularidad pasa a desaparecer. La irregularidad apareció entonces como un nuevo término de "corrección" que mide la diferencia del género geométrico y el género aritmético de superficies más complicadas. Las superficies a veces se denominan regulares o irregulares dependiendo de si la irregularidad desaparece o no.${\ Displaystyle p_ {g} -p_ {a}}$

Para una variedad analítica compleja X de dimensión general, el número de Hodge se denomina irregularidad de y se denota por q .${\ Displaystyle h ^ {0,1} = \ dim H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle X}$

Para superficies con característica positiva, o para superficies complejas que no son de Kähler, no es necesario que todos los números anteriores sean iguales.

Henri Poincaré demostró que para superficies proyectivas complejas, la dimensión de la variedad Picard es igual al número de Hodge h ^0,1 , y lo mismo ocurre con todas las superficies compactas de Kähler. La irregularidad de las superficies lisas y compactas de Kähler es invariable bajo transformaciones bimeromórficas. ^[3]

Para superficies complejas compactas generales, los dos números de Hodge h ^1,0 y h ^0,1 no necesitan ser iguales, pero h ^0,1 es h ^1,0 o h ^1,0 +1, y es igual ah ^1,0 para superficies compactas de Kähler .

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