En matemáticas , un grupo de un parámetro o un subgrupo de un parámetro generalmente significa un homomorfismo de grupo continuo
de la línea real (como grupo aditivo ) a algún otro grupo topológico . Sies inyectivo entonces, la imagen, será un subgrupo de que es isomorfo a como grupo aditivo.
Los grupos de un parámetro fueron introducidos por Sophus Lie en 1893 para definir transformaciones infinitesimales . Según Lie, una transformación infinitesimal es una transformación infinitamente pequeña del grupo de un parámetro que genera. [1] Son estas transformaciones infinitesimales las que generan un álgebra de Lie que se utiliza para describir un grupo de Lie de cualquier dimensión.
La acción de un grupo de un parámetro en un conjunto se conoce como flujo . Un campo vectorial uniforme en una variedad, en un punto, induce un flujo local , un grupo de un parámetro de difeomorfismos locales, que envía puntos a lo largo de curvas integrales del campo vectorial. El flujo local de un campo vectorial se utiliza para definir la derivada de Lie de los campos tensoriales a lo largo del campo vectorial.
Ejemplos de
Tales grupos de un parámetro son de importancia básica en la teoría de los grupos de Lie , para los cuales cada elemento del álgebra de Lie asociada define tal homomorfismo, el mapa exponencial . En el caso de grupos de matrices, está dado por la matriz exponencial .
Otro caso importante se ve en el análisis funcional , consiendo el grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Véase el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro .
En su monografía Lie Groups de 1957 , PM Cohn da el siguiente teorema en la página 58:
- Cualquier grupo de Lie unidimensional conectado es analíticamente isomorfo al grupo aditivo de números reales , o para , el grupo aditivo de números reales . En particular, cada grupo de Lie unidimensional es localmente isomorfo a .
Física
En física , los grupos de un parámetro describen sistemas dinámicos . [2] Además, siempre que un sistema de leyes físicas admite un grupo de un parámetro de simetrías diferenciables , entonces hay una cantidad conservada , según el teorema de Noether .
En el estudio del espacio-tiempo, el uso de la hipérbola unitaria para calibrar medidas espacio-temporales se ha vuelto común desde que Hermann Minkowski lo discutió en 1908. El principio de relatividad se redujo a la arbitrariedad de qué diámetro de la hipérbola unitaria se usaba para determinar un mundo. línea . Usando la parametrización de la hipérbola con ángulo hiperbólico , la teoría de la relatividad especial proporcionó un cálculo de movimiento relativo con el grupo de un parámetro indexado por rapidez . La rapidez reemplaza la velocidad en cinemática y dinámica de la teoría de la relatividad. Dado que la rapidez no tiene límites, el grupo de un parámetro sobre el que se encuentra no es compacto. El concepto de rapidez fue introducido por ET Whittaker en 1910, y Alfred Robb lo nombró al año siguiente. El parámetro de rapidez equivale a la longitud de un versor hiperbólico , un concepto del siglo XIX. Los físicos matemáticos James Cockle , William Kingdon Clifford y Alexander Macfarlane habían empleado en sus escritos un mapeo equivalente del plano cartesiano por operador., dónde es el ángulo hiperbólico y .
En GL (n, ℂ)
Un ejemplo importante en la teoría de los grupos de Lie surge cuando se toma para ser , el grupo de invertible matrices con entradas complejas. En ese caso, un resultado básico es el siguiente: [3]
- Teorema : suponga es un grupo de un parámetro. Entonces existe un único matriz tal que
- para todos .
De este resultado se sigue que es diferenciable, aunque esto no fuera una suposición del teorema. La matriz luego se puede recuperar de como
- .
Este resultado se puede utilizar, por ejemplo, para mostrar que cualquier homomorfismo continuo entre los grupos de Lie de la matriz es uniforme. [4]
Topología
Una complicación técnica es que como un subespacio depuede llevar una topología que es más tosca que la de; esto puede suceder en los casos en quees inyectable. Piense, por ejemplo, en el caso en el quees un toro , y se construye enrollando una línea recta alrededor en una pendiente irracional.
En ese caso, la topología inducida puede no ser la estándar de la línea real.
Ver también
- Curva integral
- Semigrupo de un parámetro
- Teorema de noether
Referencias
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- ^ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen , traducción al inglés de DH Delphenich, §8, enlace de la física neoclásica
- ^ Zeidler, E. (1995) Análisis funcional aplicado: principios principales y sus aplicaciones Springer-Verlag
- ^ Teorema 2.14 de Hall 2015
- ↑ Hall 2015 Corolario 3.50