El teorema de la bola peluda de la topología algebraica (a veces llamado teorema del erizo en Europa) [1] establece que no existe un campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en n- esferas de dimensión uniforme . [2] [3] Para la esfera ordinaria, o 2-esfera, si f es una función continua que asigna un vector en R 3 a cada punto p en una esfera tal que f ( p ) es siempre tangente a la esfera en p, entonces hay al menos un polo, un punto donde el campo desaparece (a p tal que f ( p ) = 0 ).
El teorema fue probado por primera vez por Henri Poincaré para la 2-esfera en 1885, [4] y extendido a dimensiones superiores en 1912 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer . [5]
El teorema se ha expresado coloquialmente como "no se puede peinar una bola peluda sin crear un remolino " o "no se puede peinar el cabello en un coco". [6]
Contando ceros
Cada cero de un campo vectorial tiene un " índice " (distinto de cero) , y se puede demostrar que la suma de todos los índices en todos los ceros debe ser dos, porque la característica de Euler de la esfera 2 es dos . Por lo tanto, debe haber al menos un cero. Ésta es una consecuencia del teorema de Poincaré-Hopf . En el caso del toro , la característica de Euler es 0; y es posible "peinar una rosquilla peluda". A este respecto, se deduce que para cualquier variedad bidimensional regular compacta con característica de Euler distinta de cero, cualquier campo vectorial tangente continuo tiene al menos un cero.
Aplicación a la infografía
Un problema común en los gráficos por computadora es generar un vector distinto de cero en R 3 que sea ortogonal a uno dado distinto de cero. No existe una única función continua que pueda hacer esto para todas las entradas vectoriales distintas de cero. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para ver esto, considere el vector dado como el radio de una esfera y observe que encontrar un vector distinto de cero ortogonal al dado es equivalente a encontrar un vector distinto de cero que sea tangente a la superficie de esa esfera donde toca el radio. Sin embargo, el teorema de la bola peluda dice que no existe una función continua que pueda hacer esto para cada punto de la esfera (de manera equivalente, para cada vector dado).
Conexión Lefschetz
Existe un argumento estrechamente relacionado de la topología algebraica , que utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz . Dado que los números de Betti de una esfera 2 son 1, 0, 1, 0, 0, ... el número de Lefschetz (traza total en la homología ) del mapeo de identidad es 2. Al integrar un campo vectorial obtenemos (al menos un una pequeña parte de) un grupo de difeomorfismos de un parámetro en la esfera; y todas las asignaciones en él son homotópicas a la identidad. Por lo tanto, todos tienen también el número 2 de Lefschetz. Por lo tanto, tienen puntos fijos (ya que el número de Lefschetz es distinto de cero). Se necesitaría un poco más de trabajo para demostrar que esto implica que en realidad debe haber un cero del campo vectorial. Sugiere el enunciado correcto del teorema más general del índice de Poincaré-Hopf .
Corolario
Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que cualquier función continua que mapea una esfera de dimensión uniforme en sí misma tiene un punto fijo o un punto que se mapea en su propio punto antípoda . Esto se puede ver transformando la función en un campo vectorial tangencial de la siguiente manera.
Sea s la función que correlaciona la esfera consigo misma, y sea v la función vectorial tangencial que se va a construir. Para cada punto p , construya la proyección estereográfica de s ( p ) con p como punto de tangencia. Entonces v ( p ) es el vector de desplazamiento de este punto proyectado relativo ap . Según el teorema de la bola peluda, existe una p tal que v ( p ) = 0 , de modo que s ( p ) = p .
Este argumento se rompe solo si existe un punto p para el cual s ( p ) es el punto antípoda de p , ya que dicho punto es el único que no puede proyectarse estereográficamente sobre el plano tangente de p .
Mayores dimensiones
La conexión con la característica de Euler χ sugiere la generalización correcta: la 2 n -sphere no tiene un campo que no desaparece vector para n ≥ 1 . La diferencia entre las dimensiones pares e impares es que, debido a que los únicos números Betti distintos de cero de la m -esfera son b 0 y b m , su suma alterna χ es 2 para m par y 0 para m impar.
Ver también
- Teorema del punto fijo
- Teorema del valor intermedio
- Campos vectoriales en esferas
Notas
- ^ Renteln, Paul (2013). Colectores, tensores y formas: una introducción para matemáticos y físicos . Universidad de Cambridge. Prensa. pag. 253. ISBN 978-1107659698.
- ^ Quemaduras, Keith; Gidea, Marian (2005). Topología y geometría diferencial: con miras a sistemas dinámicos . Prensa CRC. pag. 77. ISBN 1584882530.
- ^ Schwartz, Richard Evan (2011). Sobre todo superficies . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 113-114. ISBN 978-0821853689.
- ^ Poincaré, H. (1885), "Sur les courbes définies par les équations diff ́erentielles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 : 167–244
- ^ Georg-August-Universität Göttingen Archivado el 26 de mayo de 2006 en la Wayback Machine - LEJ Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) Volumen: 71, páginas 97-115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807 / e , texto completo
- ^ Richeson, David S. (23 de julio de 2019). La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología (New Princeton science library ed.). Princeton. pag. 5. ISBN 978-0691191997.
Referencias
- Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Theorem", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi : 10.2307 / 2320587 , JSTOR 2320587
Otras lecturas
- Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma", American Mathematical Monthly , 111 (7): 599–603, doi : 10.1080 / 00029890.2004.11920120 , JSTOR 4145162 , S2CID 29784803
- Reich, Henry (2011), Matemáticas en un minuto: por qué no puedes peinar una pelota peluda , New ScientistTV
- Richeson, David S. (2008), "Peinar el cabello en un coco", La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton University Press, págs. 202-218, ISBN 978-0-691-12677-7
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de la bola peluda" . MathWorld .