Eversión Minimax

En geometría , las eversiones minimax son una clase de eversiones de esfera , construidas utilizando modelos de mitad de camino .

Es un método variacional y consta de homotopías especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía Willmore ); contrasta con las corrugaciones de Thurston, que son genéricas.

El método original de los modelos intermedios no era óptimo: las homotopías regulares pasaban por los modelos intermedios, pero el camino desde la esfera redonda al modelo intermedio se construyó a mano y no era un ascenso / descenso en pendiente.

Un modelo de mitad de camino es una inmersión de la esfera en , que se llama así porque es el punto de mitad de camino de una eversión de esfera . Esta clase de eversiones tiene simetría de tiempo: la primera mitad de la homotopía regular va desde la esfera redonda estándar al modelo a mitad de camino, y la segunda mitad (que va desde el modelo a mitad de camino a la esfera de adentro hacia afuera) es la mismo proceso a la inversa. ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Rob Kusner propuso eversiones óptimas utilizando la energía Willmore en el espacio de todas las inmersiones de la esfera en . La esfera redonda y la esfera redonda de adentro hacia afuera son los mínimos globales únicos para la energía Willmore, y una eversión minimax es un camino que los conecta pasando por un punto de silla (como viajar entre dos valles a través de un paso de montaña). ^[2] ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ $\mathbf {R} ^{3}$

Los modelos de mitad de camino de Kusner son puntos de silla para la energía de Willmore, que surgen (de acuerdo con un teorema de Bryant) de ciertas superficies mínimas completas en el espacio tridimensional; las eversiones minimax consisten en un ascenso en gradiente desde la esfera redonda hasta el modelo a mitad de camino, luego el descenso en gradiente hacia abajo (el descenso en gradiente para la energía Willmore se llama flujo Willmore ). De manera más simétrica, comience en el modelo a mitad de camino; empuja en una dirección y sigue el flujo de Willmore hacia una esfera redonda; Empuje en la dirección opuesta y siga el flujo de Willmore hacia la esfera redonda de adentro hacia afuera.