Eversión de la esfera

En topología diferencial , la eversión de esferas es el proceso de girar una esfera de adentro hacia afuera en un espacio tridimensional (la palabra eversión significa "girar de adentro hacia afuera"). Sorprendentemente, es posible girar una esfera de adentro hacia afuera de manera suave y continua de esta manera (con posibles autointersecciones ) sin cortarla, rasgarla o crear ningún pliegue . Esto es sorprendente, tanto para los no matemáticos como para aquellos que entienden la homotopía regular , y puede considerarse una paradoja verídica ; eso es algo que, si bien es cierto, a primera vista parece falso.

Una superficie de Morin vista desde "arriba"

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Reproducir medios

Proceso de eversión de la esfera como se describe en ^[1]

Eversión de la esfera de papel y superficie de Morin

superficie de papel Morin (eversión de la esfera a la mitad) con simetría hexagonal

Más precisamente, dejemos

{\ Displaystyle f \ colon S ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

ser la incrustación estándar ; entonces hay una homotopía regular de inmersiones

{\ Displaystyle f_ {t} \ colon S ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

tal que ƒ ₀ = ƒ y ƒ ₁ = - ƒ .

Historia

Stephen Smale ( 1957 ) creó por primera vez una prueba de existencia para la eversión de esferas sin pliegues . Es difícil visualizar un ejemplo particular de tal giro, aunque se han producido algunas animaciones digitales que lo hacen algo más fácil. El primer ejemplo se exhibió gracias a los esfuerzos de varios matemáticos, incluidos Arnold S. Shapiro y Bernard Morin , que era ciego. Por otro lado, es mucho más fácil probar que existe tal "cambio", y eso es lo que hizo Smale.

El asesor graduado de Smale, Raoul Bott, le dijo al principio a Smale que el resultado era obviamente incorrecto ( Levy 1995 ). Su razonamiento era que el grado del mapa de Gauss debe conservarse en tal "giro"; en particular, se deduce que no existe tal giro de S ¹ en R ² . Pero los grados del mapa de Gauss para las incrustaciones f y - f en R ³ son ambos iguales a 1 y no tienen el signo opuesto, como se podría adivinar incorrectamente. El grado del mapa de Gauss de todas las inmersiones de S ² en R ³ es 1, por lo que no hay obstáculo. El término "paradoja verídica" se aplica quizás más apropiadamente en este nivel: hasta el trabajo de Smale, no había ningún intento documentado de argumentar a favor o en contra de la eversión de S ² , y los esfuerzos posteriores están en retrospectiva, por lo que nunca hubo una paradoja histórica asociada con eversión de la esfera, sólo una apreciación de las sutilezas en visualizarla por parte de aquellos que confrontan la idea por primera vez.

Consulte el principio h para obtener más generalizaciones.

Prueba

La prueba original de Smale fue indirecta: identificó clases (homotopía regular) de inmersiones de esferas con un grupo de homotopía de la variedad Stiefel . Dado que el grupo de homotopía que corresponde a inmersiones de ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ desaparece, la incrustación estándar y la de adentro hacia afuera deben ser homotópicas regulares. En principio, la prueba puede desenrollarse para producir una homotopía regular explícita, pero esto no es fácil de hacer.

Hay varias formas de producir ejemplos explícitos y una hermosa visualización matemática :

Modelos a mitad de camino : se componen de homotopías muy especiales. Este es el método original, primero realizado por Shapiro y Phillips a través de la superficie de Boy , luego refinado por muchos otros. Las homotopías originales del modelo a mitad de camino se construyeron a mano y funcionaron topológicamente, pero no fueron mínimas. La película creada por Nelson Max, durante un período de siete años, y basada en los modelos de alambre de gallinero de Charles Pugh (posteriormente robados del Departamento de Matemáticas en Berkeley), fue un 'tour de force' de gráficos por computadora para su época, y ambientado el punto de referencia para la animación por computadora durante muchos años. Un refinamiento gráfico más reciente y definitivo (década de 1980) son las eversiones minimax , que es un método variacional y consta de homotopías especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía Willmore ). A su vez, comprender el comportamiento de la energía Willmore requiere comprender las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden, por lo que las imágenes visualmente hermosas y evocadoras desmienten algunas matemáticas muy profundas más allá de la prueba abstracta original de Smale.
Corrugaciones de Thurston : este es un método topológico y genérico; toma una homotopía y la perturba para que se convierta en una homotopía regular. Esto se ilustra en la animación de gráficos por computadora Outside In desarrollada en el Centro de Geometría bajo la dirección de Silvio Levy, Delle Maxwell y Tamara Munzner . ^[2]
El 'holiverso' de Aitchison (2010): utiliza una combinación de métodos topológicos y geométricos, y es específico de la homotopía regular real entre una 2-esfera incrustada de forma estándar y la incrustación con orientación inversa. Esto proporciona una comprensión conceptual del proceso, revelado como surgido de la estructura concreta del plano proyectivo tridimensional y la geometría subyacente de la fibración de Hopf. No es necesario comprender los detalles de estos conceptos matemáticos para apreciar conceptualmente la eversión concreta que surge, que en esencia solo requiere comprender un círculo incrustado específico dibujado en un toro en el espacio tridimensional. George Francis sugirió el nombre "holiverso", derivado de la palabra "holístico", ya que (después de pensarlo un poco) la eversión completa puede captarse conceptualmente de principio a fin, sin las ayudas visuales que proporciona la animación. En espíritu, esto está más cerca de las ideas originalmente sugeridas por Shapiro, y en la práctica proporciona una prueba concreta de eversión que no requiere la abstracción subyacente a la prueba de Smale. Esto se ilustra parcialmente en una animación de gráficos por computadora de Povray , que nuevamente se encuentra fácilmente buscando en YouTube.
Combinando los métodos anteriores, la eversión de la esfera completa se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones cerradas que dan una complejidad topológica mínima ^[1]

Variaciones

Una esfera de seis dimensiones ${\ Displaystyle S ^ {6}}$ en el espacio euclidiano de siete dimensiones ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$ admite eversión. Con un caso evidente de una esfera de dimensión 0 ${\ Displaystyle S ^ {0}}$ (dos puntos distintos) en una línea real ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ y descrito anteriormente el caso de una esfera bidimensional en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ solo hay tres casos en los que la esfera ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ incrustado en el espacio euclidiano ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ admite eversión.

Galería de pasos de eversión

Parcelas de superficie
Modelo reglado de mitad de camino con cuádruple punto vista diagonal vista lateral	Cerrado a la mitad vista superior vista diagonal vista lateral	Modelo reglado de muerte de puntos triples vista superior vista diagonal vista lateral
Modelo reglado del final del bucle de intersección central vista superior vista diagonal vista lateral	Modelo reglado de última etapa vista superior vista diagonal vista lateral

Modelo abierto con hilo de nailon

parte superior a mitad de camino

lado a mitad de camino

triple muerte superior

triple lado de la muerte

extremo superior de la intersección

lado del extremo de la intersección

Ver también

Esfera
Teorema de Whitney-Graustein

Referencias

^ a b Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2017). "Eversión de la esfera analítica con mínimo de eventos topológicos". arXiv : 1711.10466 [ math.GT ].
^ "Afuera en: Introducción" . El centro de geometría . Consultado el 21 de junio de 2017 .

Bibliografía

Iain R. Aitchison (2010) El 'Holiverso': eversión holística de la 2-esfera en R ^ 3 , preimpresión. arXiv: 1008.0916.
John B. Etnyre (2004) Revisión de "principios h y flexibilidad en geometría", MR1982875 .
Francis, George K. (2007), A topological picturebook , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, MR 2265679
George K. Francis y Bernard Morin (1980) "La eversión de la esfera de Arnold Shapiro", Mathematical Intelligencer 2 (4): 200-3.
Levy, Silvio (1995), "Una breve historia de eversiones de esferas" , Making Waves , Wellesley, MA: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, MR 1357900
Max, Nelson (1977) "Volviendo una esfera de adentro hacia afuera", https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941
Anthony Phillips (mayo de 1966) "Volviendo una superficie del revés", Scientific American , págs. 112-120.
Smale, Stephen (1958), "Una clasificación de inmersiones de las dos esferas", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 281-290, doi : 10.2307 / 1993205 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993205 , MR 0104227

enlaces externos

Afuera adentro , video completo (clip corto aquí )
Una historia de eversiones de esferas
"Dar la vuelta a una esfera"
Software para visualizar la eversión de esferas
Visualización matemática: topología. La eversión de la esfera del holiverso (animación de Povray)
La eversión de la esfera deNeve / Hills: video y modelo interactivo
El proyecto de Patrick Massot para formalizar la demostración en el Lean Theorem Prover
Una exploración interactiva del método de eversión de esferas de Adam Bednorz y Witold Bednorz

[sev-eq-1] Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2017). "Eversión de la esfera analítica con mínimo de eventos topológicos". arXiv : 1711.10466 [ math.GT ].

[2] "Afuera en: Introducción" . El centro de geometría . Consultado el 21 de junio de 2017 .

[1]