Willmore energía

Escultura "Willmore Surface" en la Universidad de Durham en memoria de Thomas Willmore

En geometría diferencial , la energía Willmore es una medida cuantitativa de cuánto se desvía una superficie dada de una esfera redonda . Matemáticamente, la energía Willmore de una superficie cerrada lisa incrustada en el espacio euclidiano tridimensional se define como la integral del cuadrado de la curvatura media menos la curvatura gaussiana . Lleva el nombre del geómetra inglés Thomas Willmore .

Definición

Expresada simbólicamente, la energía Willmore de S es:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$

donde es la curvatura media , es la curvatura gaussiana , y dA es la forma área de S . Para una superficie cerrada, según el teorema de Gauss-Bonnet , la integral de la curvatura gaussiana se puede calcular en términos de la característica de Euler de la superficie, por lo que${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \chi (S)}$

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

que es un invariante topológico y, por tanto, independiente de la incrustación particular en la que se eligió. Por tanto, la energía de Willmore se puede expresar como${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

Una fórmula alternativa, pero equivalente, es

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

donde y son las principales curvaturas de la superficie.${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

Propiedades

La energía Willmore es siempre mayor o igual a cero. Una esfera redonda tiene cero energía Willmore.

La energía Willmore se puede considerar funcional en el espacio de empotramientos de una superficie dada, en el sentido del cálculo de variaciones , y se puede variar el empotramiento de una superficie, dejándola topológicamente inalterada.

Puntos críticos

Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar los puntos críticos y mínimos de un funcional.

Para un espacio topológico dado, esto equivale a encontrar los puntos críticos de la función

${\displaystyle \int _{S}H^{2}\,dA}$

ya que la característica de Euler es constante.

Se pueden encontrar mínimos (locales) para la energía Willmore por descenso de gradiente , que en este contexto se denomina flujo Willmore.

Para las incrustaciones de la esfera en el espacio tridimensional, los puntos críticos se han clasificado: ^[1] todos son transformaciones conformes de superficies mínimas , la esfera redonda es el mínimo y todos los demás valores críticos son números enteros mayores o iguales a 4 . Se llaman superficies Willmore.${\displaystyle \pi }$

Willmore fluye

El flujo de Willmore es el flujo geométrico correspondiente a la energía de Willmore; es un - flujo de gradiente .${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A}$

donde H representa la curvatura media de la variedad .${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Las líneas de flujo satisfacen la ecuación diferencial:

${\displaystyle \partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,}$

donde es un punto que pertenece a la superficie.${\displaystyle x}$

Este flujo conduce a un problema de evolución en la geometría diferencial : la superficie está evolucionando en el tiempo para seguir las variaciones del descenso más pronunciado de la energía. Al igual que la difusión superficial , es un flujo de cuarto orden, ya que la variación de la energía contiene cuartas derivadas.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Aplicaciones

• Las membranas celulares tienden a posicionarse de manera que minimizan la energía Willmore. ^[2]
• La energía de Willmore se utiliza para construir una clase de eversiones de esfera óptimas , las eversiones minimax .

Ver también

• Willmore conjetura

Notas

1. Bryant, Robert L. (1984), "Un teorema de dualidad para superficies Willmore" , Journal of Differential Geometry , 20 (1): 23-53, MR  0772125.
2. Müller, Stefan; Röger, Matthias (mayo de 2014). "Estructuras confinadas de menor energía de flexión" . Revista de geometría diferencial . 97 (1): 109-139. doi : 10.4310 / jdg / 1404912105 .

Referencias

• Willmore, TJ (1992), "A survey on Willmore immersions", Geometry and Topology of Submanifolds, IV (Lovaina, 1991) , River Edge, NJ: World Scientific, págs. 11-16, MR  1185712.