En matemáticas , los polinomios de Hall-Littlewood son funciones simétricas que dependen de un parámetro ty una partición λ. Son funciones de Schur cuando t es 0 y funciones monomiales simétricas cuando t es 1 y son casos especiales de polinomios de Macdonald . Primero fueron definidos indirectamente por Philip Hall usando el álgebra de Hall , y luego definidos directamente por Dudley E. Littlewood (1961).
Definición
El polinomio P de Hall-Littlewood se define por
donde λ es una partición de como máximo n con elementos λ i , y m ( i ) elementos iguales a i , y S n es el grupo simétrico de orden n !
Como ejemplo,
Especializaciones
Tenemos eso , y donde este último son los polinomios de Schur P.
Propiedades
Al expandir los polinomios de Schur en términos de los polinomios de Hall-Littlewood, uno tiene
dónde son los polinomios de Kostka-Foulkes . Tenga en cuenta que como, estos se reducen a los coeficientes de Kostka ordinarios.
Lascoux y Schützenberger dieron una descripción combinatoria de los polinomios de Kostka-Foulkes,
donde "carga" es una determinada estadística combinatoria en cuadros de Young semiestándar, y la suma se toma sobre todos los cuadros de Young semi-estándar con forma λ y tipo μ .
Ver también
Referencias
- IG Macdonald (1979). Funciones simétricas y polinomios de pasillo . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 101-104. ISBN 0-19-853530-9.
- DE Littlewood (1961). "Sobre determinadas funciones simétricas". Actas de la London Mathematical Society . 43 : 485–498. doi : 10.1112 / plms / s3-11.1.485 .