En matemáticas , los polinomios de Kostka , que llevan el nombre del matemático Carl Kostka , son familias de polinomios que generalizan los números de Kostka . Se estudian principalmente en combinatoria algebraica y teoría de la representación .
Los polinomios de Kostka de dos variables K λμ ( q , t ) son conocidos por varios nombres, incluidos los polinomios de Kostka-Foulkes , los polinomios de Macdonald-Kostka o los polinomios q , t -Kostka . Aquí los índices λ y μ son particiones enteras y K λμ ( q , t ) es polinomio en las variables q y t . A veces se consideran versiones de una sola variable de estos polinomios que surgen al establecer q = 0, es decir, al considerar el polinomio K λμ( t ) = K λμ (0, t ).
Hay dos versiones ligeramente diferentes de ellos, una llamada polinomios de Kostka transformados . [ cita requerida ]
Las especializaciones de una variable de los polinomios de Kostka se pueden utilizar para relacionar los polinomios de Hall-Littlewood P μ con los polinomios de Schur s λ :
Foulkes supuso que estos polinomios tenían coeficientes enteros no negativos, y esto fue probado más tarde en 1978 por Alain Lascoux y Marcel-Paul Schützenberger . [1] De hecho, muestran que
donde la suma se toma sobre todos los cuadros de Young semi-estándar con forma λ y peso μ. Aquí, charge es una determinada estadística combinatoria en cuadros de Young semi-estándar.
Los polinomios de Macdonald-Kostka se pueden usar para relacionar los polinomios de Macdonald (también denotados por P μ ) con los polinomios de Schur s λ :
dónde
Los números de Kostka son valores especiales de los polinomios de Kostka de 1 o 2 variables:
Ejemplos de
Referencias
- ^ Lascoux, A .; Scützenberger, MP "Sur une conjecture de HO Foulkes". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 286 (7): A323 – A324.
- Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Oxford Mathematical Monographs (2a ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144[ enlace muerto permanente ]
- Nelsen, Kendra; Ram, Arun (2003), "Polinomios de Kostka-Foulkes y funciones esféricas de Macdonald", Encuestas en combinatoria, 2003 (Bangor) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 307 , Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, págs. 325–370, arXiv : math / 0401298 , Bibcode : 2004math ...... 1298N , MR 2011741
- Stembridge, JR (2005), Polinomios de tipo general de Kostka-Foulkes , notas de clase del taller AIM sobre polinomios de Kostka generalizados