En matemáticas , el álgebra de Hall es un álgebra asociativa con una base correspondiente a clases de isomorfismo de grupos p abelianos finitos . Fue discutido por primera vez por Steinitz (1901) pero olvidado hasta que fue redescubierto por Philip Hall ( 1959 ), quienes no publicaron más que breves resúmenes de su trabajo. Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall . El álgebra de Hall juega un papel importante en la teoría de Masaki Kashiwara y George Lusztig con respecto a las bases canónicasen grupos cuánticos . Ringel (1990) generalizó las álgebras de Hall a categorías más generales , como la categoría de representaciones de un carcaj .
Construcción
A finito abeliano p -Grupo M es una suma directa de cíclico p componentes -POWER dónde es una partición dellamado el tipo de M . Dejarser el número de subgrupos N de M tal que N tiene tipoy el cociente M / N tiene tipo. Hall demostró que las funciones g son funciones polinómicas de p con coeficientes enteros. Por lo tanto, podemos reemplazar p con una q indeterminada , lo que da como resultado los polinomios de Hall
Hall luego construye un anillo asociativo encima , ahora llamado álgebra de Hall . Este anillo tiene una base que consta de los símbolos y las constantes de estructura de la multiplicación en esta base están dadas por los polinomios de Hall:
Resulta que H es un anillo conmutativo, generado libremente por los elementoscorrespondiente a los p -grupos elementales . El mapa lineal de H al álgebra de funciones simétricas definidas en los generadores por la fórmula
(donde e n es el n º función simétrica elemental ) se extiende de forma única a un homomorfismo de anillos y las imágenes de los elementos de la basepuede interpretarse mediante las funciones simétricas de Hall-Littlewood . Especializando q en 0, estas funciones simétricas se convierten en funciones de Schur , que por tanto están estrechamente conectadas con la teoría de los polinomios de Hall.
Referencias
- Hall, Philip (1959), "El álgebra de particiones", Actas del 4º congreso canadiense de matemáticas, Banff , págs. 147-159
- George Lusztig , Quivers, perverse gavillas y álgebras envolventes cuantificadas , Journal of the American Mathematical Society 4 (1991), no. 2, 365–421.
- Macdonald, Ian G. (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , Oxford Mathematical Monographs (2a ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144
- Ringel, Claus Michael (1990), "Álgebras de Hall y grupos cuánticos" , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 583–591, Bibcode : 1990InMat.101..583R , doi : 10.1007 / BF01231516 , MR 1062796
- Schiffmann, Olivier (2012), "Conferencias sobre álgebras de Hall", Métodos geométricos en teoría de la representación. II , Sémin. Congr., 24-II, París: Soc. Matemáticas. Francia, págs. 1-141, arXiv : math / 0611617 , Bibcode : 2006math ..... 11617S , MR 3202707
- Steinitz, Ernst (1901), "Zur Theorie der Abel'schen Gruppen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 9 : 80–85