Feliz numero

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En teoría de números , un número feliz es un número que finalmente llega a 1 cuando se reemplaza por la suma del cuadrado de cada dígito. Por ejemplo, 13 es un número feliz porque y . Por otro lado, 4 no es un número feliz porque la secuencia comienza con y finalmente llega al número que inició la secuencia, por lo que el proceso continúa en un ciclo infinito sin llegar nunca a 1. Un número que no es feliz se llama triste o infeliz .${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 3 ^ {2} = 10}$${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle 4 ^ {2} = 16}$${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 6 ^ {2} = 37}$${\ Displaystyle 2 ^ {2} + 0 ^ {2} = 4}$

De manera más general, un - número feliz es un número natural en una base numérica dada que eventualmente llega a 1 cuando se itera sobre la función invariante digital perfecta para . ^[1]${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle p = 2}$

El origen de los números felices no está claro. Reg Allenby (un autor británico y profesor principal de matemáticas puras en la Universidad de Leeds ) llamó la atención de Reg Allenby por su hija, que había aprendido de ellos en la escuela. Sin embargo, "pueden haberse originado en Rusia" ( Guy 2004 : §E34).

Formalmente, sea ​​un número natural. Dada la función invariante digital perfecta${\displaystyle n}$

para la base , un número es -feliz si existe tal que , donde representa la -ésima iteración de , y- infeliz en caso contrario. Si un número es un invariante digital perfecto no trivial de , entonces no es feliz.${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle j}$${\displaystyle F_{2,b}^{j}(n)=1}$${\displaystyle F_{2,b}^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle b}$

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