En un sistema numérico posicional , la raíz o base es el número de dígitos únicos , incluido el dígito cero, que se utiliza para representar números. Por ejemplo, para el sistema decimal / denario (el sistema más común en uso en la actualidad), la base (número base) es diez, porque usa los diez dígitos del 0 al 9.
En cualquier sistema de numeración posicional estándar, un número se escribe convencionalmente como ( x ) y con x como la cadena de dígitos e y como base, aunque para la base diez se suele asumir el subíndice (y se omite, junto con el par de paréntesis ). , ya que es la forma más común de expresar valor . Por ejemplo, (100) 10 equivale a 100 (el sistema decimal está implícito en este último) y representa el número cien, mientras que (100) 2 (en el sistema binario con base 2) representa el número cuatro. [1]
Etimología
Radix es una palabra latina para "raíz". La raíz puede considerarse sinónimo de base, en el sentido aritmético.
En sistemas numéricos
En el sistema con base 13, por ejemplo, una cadena de dígitos como 398 denota el número (decimal) 3 × 13 2 + 9 × 13 1 + 8 × 13 0 = 632.
De manera más general, en un sistema con base b ( b > 1 ), una cadena de dígitos d 1 … d n denota el número d 1 b n −1 + d 2 b n −2 +… + d n b 0 , donde 0 ≤ d yo < b . [1] En contraste con el decimal, o la base 10, que tiene un lugar de unidades, un lugar de decenas, un lugar de centenas, etc., la raíz b tendría un lugar de unidades, luego a b 1 lugar de s, a b 2 s, etc. [2]
Los sistemas numéricos de uso común incluyen:
Base / raíz | Nombre | Descripción |
---|---|---|
2 | Sistema de numeración binaria | Usado internamente por casi todas las computadoras , es la base 2 . Los dos dígitos son "0" y "1", expresados a partir de interruptores que muestran APAGADO y ENCENDIDO, respectivamente. Se utiliza en la mayoría de los contadores eléctricos . |
8 | Sistema octal | Usado ocasionalmente en informática. Los ocho dígitos son "0" - "7" y representan 3 bits (2 3 ). |
10 | Sistema decimal | El sistema de números más utilizado en el mundo, se utiliza en aritmética. Sus diez dígitos son "0" - "9". Se utiliza en la mayoría de los contadores mecánicos . |
12 | Sistema duodecimal (dozenal) | A veces se propugna debido a la divisibilidad entre 2, 3, 4 y 6. Tradicionalmente se usaba como parte de cantidades expresadas en docenas y brutos . |
dieciséis | Sistema hexadecimal | A menudo se utiliza en informática como una representación más compacta de binario (1 dígito hexadecimal por 4 bits). Los dieciséis dígitos son "0" - "9" seguidos de "A" - "F" o "a" - "f". |
20 | Sistema vigesimal | Sistema de numeración tradicional en varias culturas, todavía utilizado por algunos para contar. Históricamente también conocido como el sistema de puntuación en inglés, ahora más famoso en la frase "hace cuatro y siete años" en el Discurso de Gettysburg . |
60 | Sistema sexagesimal | Se originó en la antigua Sumeria y pasó a los babilonios . [3] Se utiliza hoy en día como base del moderno sistema de coordenadas circulares (grados, minutos y segundos) y la medición del tiempo (minutos y segundos) por analogía con la rotación de la Tierra. |
Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan a menudo en computación debido a su facilidad como forma abreviada de binario. Cada dígito hexadecimal corresponde a una secuencia de cuatro dígitos binarios, ya que dieciséis es la cuarta potencia de dos; por ejemplo, el hexadecimal 78 16 es el binario 111 1000 2 . De manera similar, cada dígito octal corresponde a una secuencia única de tres dígitos binarios, ya que ocho es el cubo de dos.
Esta representación es única. Sea b un número entero positivo mayor que 1. Entonces, todo número entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma
donde m es un número entero no negativo y las r son números enteros tales que
- 0 < r m < b y 0 ≤ r i < b para i = 0, 1, ..., m - 1. [4]
Los radicales suelen ser números naturales . Sin embargo, son posibles otros sistemas posicionales, por ejemplo, base de proporción áurea (cuya raíz es un número algebraico no entero ), [5] y base negativa (cuya raíz es negativa). [6] Una base negativa permite la representación de números negativos sin el uso de un signo menos. Por ejemplo, sea b = −10. Luego, una cadena de dígitos como 19 denota el número (decimal) 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
Ver también
Notas
- ↑ a b Mano, M. Morris; Kime, Charles (2014). Fundamentos de diseño lógico y informático (4ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 13-14. ISBN 978-1-292-02468-4.
- ^ "Binario: ¿Cómo hablan las computadoras? | Experimonkey" . experimonkey.com . Consultado el 2 de diciembre de 2018 .[ enlace muerto ]
- ^ Bertman, Stephen (2005). Manual para la vida en la antigua Mesopotamia (edición de bolsillo). Oxford [ua]: Universidad de Oxford. Prensa. pag. 257. ISBN 978-019-518364-1.
- ↑ McCoy (1968 , p. 75)
- ^ Bergman, George (1957). "Un sistema numérico con una base irracional". Revista de Matemáticas . 31 (2): 98-110. doi : 10.2307 / 3029218 . JSTOR 3029218 .
- ^ William J. Gilbert (septiembre de 1979). "Sistemas numéricos basados en negativos" (PDF) . Revista de Matemáticas . 52 (4): 240–244. doi : 10.1080 / 0025570X.1979.11976792 . Consultado el 7 de febrero de 2015 .
Referencias
- McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN 68015225
enlaces externos
- Base Convert, una calculadora de base de punto flotante
- Entrada MathWorld en la base