En teoría de números , un invariante digital perfecto (PDI) es un número en una base numérica dada que es la suma de sus propios dígitos, cada uno elevado a una potencia determinada . [1] [2]
Definición
Dejar ser un número natural . Definimos la función invariante digital perfecta (también conocida como función feliz , de números felices ) para base y poder ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base , y
es el valor de cada dígito del número. Un numero naturales un invariante digital perfecto si es un punto fijo para, que ocurre si . y son invariantes digitales triviales perfectos para todos y , todos los demás invariantes digitales perfectos son invariantes digitales perfectos no triviales .
Por ejemplo, el número 4150 en base es un invariante digital perfecto con , porque .
Un numero natural es un invariante digital sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo (aquí es el la iteración de), y forma un ciclo de período. Un invariante digital perfecto es un invariante digital sociable con, y un invariante digital amistoso es un invariante digital sociable con.
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto es porque si, , así que cualquiera satisfará Hasta que . Hay un número finito de números naturales menores que, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico.
Números en base conducir a puntos fijos o periódicos de números .
Si , entonces el el límite se puede reducir. Dejar ser el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que .
- porque
Dejar ser el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que .
- porque
Dejar ser el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que .
Dejar ser el número para el cual la suma de cuadrados de dígitos es mayor entre los números menores que .
. Por lo tanto, los números en base conducir a ciclos o puntos fijos de números .
El número de iteraciones necesitado para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función invariante digital perfecta dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
es la suma de dígitos . Los únicos invariantes digitales perfectos son los números de un solo dígito en basey no hay puntos periódicos con un período primo superior a 1.
reduce a , como para cualquier poder , y .
Por cada número natural , Si , y , luego para cada número natural , Si , luego , dónde es la función totient de Euler .
Dejar
ser un número natural con dígitos, donde , y , dónde es un número natural mayor que 1.
Según las reglas de divisibilidad de la base, Si , Entonces sí , luego la suma de dígitos
Si un dígito , luego . Según el teorema de Euler , si, . Por lo tanto, si la suma de dígitos , luego .
Por lo tanto, para cualquier número natural , Si , y , luego para cada número natural , Si , luego .
No se puede determinar un límite superior para el tamaño de invariantes digitales perfectos en una base dada y potencia arbitraria, y actualmente no se sabe si el número de invariantes digitales perfectos para una base arbitraria es finito o infinito. [1]
Invariantes digitales perfectos de F 2, b
Por definición, cualquier invariante digital perfecto de tres dígitos por con dígitos de números naturales , , tiene que satisfacer la ecuación diofántica cúbica. Sin emabargo, tiene que ser igual a 0 o 1 para cualquier , porque el valor máximo puede tomar es . Como resultado, en realidad hay dos ecuaciones diofánticas cuadráticas relacionadas para resolver:
- Cuándo , y
- Cuándo .
El número natural de dos dígitos es un invariante digital perfecto en base
Esto se puede probar tomando el primer caso, donde y resolviendo para . Esto significa que para algunos valores de y , no es un invariante digital perfecto en ninguna base, ya que no es un divisor de. Es más,, porque si o , luego , que contradice la afirmación anterior de que .
No hay invariantes digitales perfectos de tres dígitos para , que puede probarse tomando el segundo caso, donde y dejando y . Entonces la ecuación diofántica para el invariante digital perfecto de tres dígitos se convierte en
Sin emabargo, para todos los valores de . Por lo tanto, no hay soluciones para la ecuación diofántica, y no hay invariantes digitales perfectos de tres dígitos para.
Invariantes digitales perfectos de F 3, b
Solo hay cuatro números, después de la unidad, que son las sumas de los cubos de sus dígitos:
Estos son hechos extraños, muy adecuados para columnas de acertijos y probablemente divertirán a los aficionados, pero no hay nada en ellos que atraiga al matemático. (secuencia A046197 en la OEIS )
- GH Hardy , la disculpa de un matemático
Por definición, cualquier invariante digital perfecto de cuatro dígitos por con dígitos de números naturales , , , tiene que satisfacer la ecuación diofántica cuártica. Sin emabargo, tiene que ser igual a 0, 1, 2 para cualquier , porque el valor máximo puede tomar es . Como resultado, en realidad hay tres ecuaciones diofánticas cúbicas relacionadas para resolver
- Cuándo
- Cuándo
- Cuándo
Tomamos el primer caso, donde .
b = 3 k + 1
Dejar ser un entero positivo y la base numérica . Luego:
- es un invariante digital perfecto para para todos .
Deje que los dígitos de ser , , y . Luego
Por lo tanto es un invariante digital perfecto para para todos .
- es un invariante digital perfecto para para todos .
Deje que los dígitos de ser , , y . Luego
Por lo tanto es un invariante digital perfecto para para todos .
- es un invariante digital perfecto para para todos .
Deje que los dígitos de ser , , y . Luego
Por lo tanto es un invariante digital perfecto para para todos .
1 | 4 | 130 | 131 | 203 |
2 | 7 | 250 | 251 | 305 |
3 | 10 | 370 | 371 | 407 |
4 | 13 | 490 | 491 | 509 |
5 | dieciséis | 5B0 | 5B1 | 60B |
6 | 19 | 6D0 | 6D1 | 70D |
7 | 22 | 7F0 | 7F1 | 80F |
8 | 25 | 8H0 | 8H1 | 90H |
9 | 28 | 9J0 | 9J1 | A0J |
b = 3 k + 2
Dejar ser un entero positivo y la base numérica . Luego:
- es un invariante digital perfecto para para todos .
Deje que los dígitos de ser , , y . Luego
Por lo tanto es un invariante digital perfecto para para todos .
1 | 5 | 103 |
2 | 8 | 205 |
3 | 11 | 307 |
4 | 14 | 409 |
5 | 17 | 50B |
6 | 20 | 60D |
7 | 23 | 70F |
8 | 26 | 80H |
9 | 29 | 90J |
b = 6 k + 4
Dejar ser un entero positivo y la base numérica . Luego:
- es un invariante digital perfecto para para todos .
Deje que los dígitos de ser , , y . Luego
Por lo tanto es un invariante digital perfecto para para todos .
0 | 4 | 021 |
1 | 10 | 153 |
2 | dieciséis | 285 |
3 | 22 | 3B7 |
4 | 28 | 4E9 |
Invariantes digitales perfectos y ciclos de F p , b para p y b específicos
Todos los números están representados en base .
Invariantes digitales perfectos no triviales | Ciclos | ||
---|---|---|---|
2 | 3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | |||
5 | 23, 33 | 4 → 31 → 20 → 4 | |
6 | 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 | ||
7 | 13, 34, 44, 63 | 2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16 | |
8 | 24, 64 | 4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15 | |
9 | 45, 55 | 58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75 | |
10 | 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 | ||
11 | 56, 66 | 5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68 | |
12 | 25, A5 | 5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68 | |
13 | 14, 36, 67, 77, A6, C4 | 28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98 | |
14 | 1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29 | ||
15 | 78, 88 | 2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1B → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9A → C1 → 9A D6 → DA → 12E → D6 | |
dieciséis | D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D | ||
3 | 3 | 122 | 2 → 22 → 121 → 101 → 2 |
4 | 20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332 | ||
5 | 103, 433 | 14 → 230 → 120 → 14 | |
6 | 243, 514, 1055 | 13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13 | |
7 | 12, 22, 250, 251, 305, 505 | 2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516 | |
8 | 134, 205, 463, 660, 661 | 662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662 | |
9 | 30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388 | 38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818 | |
10 | 153, 370, 371, 407 | 55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919 | |
11 | 32, 105, 307, 708, 966, A06, A64 | 3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25A → 940 → 661 → 364 → 25A 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49A → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49A | |
12 | 577, 668, A83, 11AA | ||
13 | 490, 491, 509, B85 | 13 → 22 → 13 | |
14 | 136, 409 | ||
15 | C3A, D87 | ||
dieciséis | 23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1 | ||
4 | 3 | 121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122 | |
4 | 1103, 3303 | 3 → 1101 → 3 | |
5 | 2124, 2403, 3134 | 1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444 | |
6 | |||
7 | |||
8 | 20, 21, 400, 401, 420, 421 | ||
9 | 432, 2466 | ||
5 | 3 | 1020, 1021, 2102, 10121 | |
4 | 200 | 3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311 |
Extensión a enteros negativos
Los invariantes digitales perfectos se pueden extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.
Ternario equilibrado
En ternario balanceado , los dígitos son 1, -1 y 0. Esto da como resultado lo siguiente:
- Con poderes extraños, se reduce a la iteración de suma de dígitos , como, y .
- Con incluso los poderes, indica si el número es par o impar, ya que la suma de cada dígito indicará divisibilidad por 2 si y solo si la suma de dígitos termina en 0. Como y , para cada par de dígitos 1 o −1, su suma es 0 y la suma de sus cuadrados es 2.
Relación con los números felices
Un numero feliz para una base dada y un poder dado es un punto preperiódico para la función invariante digital perfecta tal que el -ésima iteración de es igual al invariante digital perfecto trivial , y un número infeliz es aquel en el que no existe tal .
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la función invariante digital perfecta descrita en la definición anterior para buscar ciclos e invariantes digitales perfectos en Python . Esto se puede usar para encontrar números felices .
def pdif ( x : int , p : int , b : int ) -> int : "" "Función invariante digital perfecta." "" total = 0 while x > 0 : total = total + pow ( x % b , p ) x = x // b devuelve el totaldef pdif_cycle ( x : int , p : int , b : int ) -> Lista [ int ]: visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = pdif ( x , p , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = pdif ( x , p , b ) ciclo de retorno
Ver también
- Dinámica aritmética
- Número de Dudeney
- Factorion
- Feliz numero
- La constante de Kaprekar
- Número de Kaprekar
- Número de Meertens
- Número narcisista
- Perfecta invariante de dígito a dígito
- Número de producto suma
Referencias
- ↑ a b Perfect and PluPerfect Digital Invariants Archivado el 10 de octubre de 2007 en la Wayback Machine por Scott Moore
- ^ PDI de Harvey Heinz
enlaces externos
- Invariantes digitales