En matemáticas , un campo de Hardy es un campo que consta de gérmenes de funciones de valor real en el infinito que se cierra bajo diferenciación . Llevan el nombre del matemático inglés GH Hardy .
Definición
Inicialmente, al menos, los campos de Hardy se definieron en términos de gérmenes de funciones reales en el infinito. Específicamente, consideramos una colección H de funciones que están definidas para todos los números reales grandes, es decir, funciones f que mapean ( u , ∞) a los números reales R , donde u es un número real que depende de f . Aquí y en el resto del artículo decimos que una función tiene una propiedad " eventualmente " si tiene la propiedad para todo x suficientemente grande , así que por ejemplo decimos que una función f en H es eventualmente cero si hay algún número real U tal que f ( x ) = 0 para todo x ≥ U . Podemos formar una relación de equivalencia en H diciendo que f es equivalente ag si y solo si f - g es finalmente cero. Las clases de equivalencia de esta relación se denominan gérmenes en el infinito.
Si H forma un campo bajo la suma y multiplicación habituales de funciones, entonces también lo hará H módulo esta relación de equivalencia bajo las operaciones de suma y multiplicación inducidas. Además, si cada función en H es eventualmente diferenciable y la derivada de cualquier función en H también está en H, entonces H módulo, la relación de equivalencia anterior se llama campo de Hardy. [1]
Los elementos de un campo de Hardy son, por tanto, clases de equivalencia y deberían denotarse, digamos, [ f ] ∞ para denotar la clase de funciones que eventualmente son iguales a la función representativa f . Sin embargo, en la práctica, los elementos normalmente son indicados por los propios representantes, por lo que en lugar de [ f ] ∞ se escribiría f .
Ejemplos de
Si F es un subcampo de R, entonces podemos considerarlo como un campo de Hardy considerando los elementos de F como funciones constantes, es decir, considerando el número α en F como la función constante f α que asigna cada x en R a α. Este es un campo ya que F es, y dado que la derivada de cada función en este campo es 0, que debe estar en F , es un campo de Hardy.
Un ejemplo menos trivial de un campo de Hardy es el campo de funciones racionales en R , denotado R ( x ). Este es el conjunto de funciones de la forma P ( x ) / Q ( x ) donde P y Q son polinomios con coeficientes reales. Desde el polinomio Q puede tener sólo un número finito de ceros por el teorema fundamental del álgebra , tal función racional se define para todos los suficientemente grandes x , específicamente para todos los x más grande que el más grande de la raíz real de Q . Sumar y multiplicar funciones racionales da más funciones racionales, y la regla del cociente muestra que la derivada de la función racional es nuevamente una función racional, por lo que R ( x ) forma un campo de Hardy.
Otro ejemplo es el campo de funciones que se pueden expresar usando las operaciones aritméticas estándar, exponentes y logaritmos, y están bien definidos en algún intervalo de la forma. . [2] Estas funciones a veces se denominan funciones L de Hardy . Los campos Hardy mucho más grandes (que contienen funciones L de Hardy como subcampo) se pueden definir usando transseries .
Propiedades
Cualquier elemento de un campo de Hardy eventualmente es estrictamente positivo, estrictamente negativo o cero. Esto se deduce bastante inmediatamente de los hechos de que los elementos en un campo de Hardy son eventualmente diferenciables y por lo tanto continuos y eventualmente tienen un inverso multiplicativo o son cero. Esto significa que las funciones periódicas, como las funciones seno y coseno, no pueden existir en los campos de Hardy.
Esta evitación de funciones periódicas también significa que cada elemento en un campo de Hardy tiene un límite (posiblemente infinito) en el infinito, por lo que si f es un elemento de H , entonces
existe en R ∪ {−∞, + ∞}. [3]
También significa que podemos colocar un orden en H diciendo f < g si g - f es finalmente estrictamente positivo. Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que afirmar que f < g si el límite de f es menor que el límite de g . Por ejemplo, si consideramos los gérmenes de la función identidad f ( x ) = x y la función exponencial g ( x ) = e x, entonces como g ( x ) - f ( x )> 0 para todo x tenemos que g > f . Pero ambos tienden al infinito. En este sentido, el ordenamiento nos dice qué tan rápido todas las funciones ilimitadas divergen hasta el infinito.
En teoría de modelos
La teoría moderna de los campos de Hardy no se restringe a funciones reales sino a aquellas definidas en determinadas estructuras que expanden campos cerrados reales . De hecho, si R es una expansión mínima de un campo, entonces el conjunto de funciones unarias definibles en R que se definen para todos los elementos suficientemente grandes forma un campo de Hardy denotado H ( R ). [4] Las propiedades de los campos Hardy en el entorno real aún se mantienen en este entorno más general.
Referencias
- ^ Boshernitzan, Michael (1986), "Campos resistentes y existencia de funciones transexponenciales", Aequationes Mathematicae , 30 (1): 258-280, doi : 10.1007 / BF02189932
- ^ GH Hardy, Propiedades de funciones logarítmico-exponenciales , Proc. London Math. Soc. (2), 54–90, 10 , 1911
- ^ Rosenlicht, Maxwell (1983), "The Rank of a Hardy Field", Transactions of the American Mathematical Society , 280 (2): 659–671, doi : 10.2307 / 1999639 , JSTOR 1999639
- ^ Kuhlmann, Franz-Viktor; Kuhlmann, Salma (2003), "Teoría de valoración de los campos exponenciales de Hardy I" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 243 (4): 671–688, doi : 10.1007 / s00209-002-0460-4