En matemáticas, el campo de transseries logarítmico-exponenciales es un campo diferencial ordenado no arquimediano que extiende la comparabilidad de las tasas de crecimiento asintótico de funciones elementales no trigonométricas a una clase mucho más amplia de objetos. Cada transserie log-exp representa un comportamiento asintótico formal, y puede manipularse formalmente, y cuando converge (o en todos los casos si se usa una semántica especial como a través de infinitos números surrealistas ), corresponde al comportamiento real. Las transseries también pueden ser convenientes para representar funciones. A través de su inclusión de exponenciación y logaritmos, las transseries son una fuerte generalización de la serie de potencias en el infinito () y otras expansiones asintóticas similares .
El campo fue introducido independientemente por Dahn-Göring [1] y Ecalle [2] en los respectivos contextos de teoría de modelos o campos exponenciales y del estudio de la singularidad analítica y la demostración por Ecalle de las conjeturas de Dulac. Constituye un objeto formal, ampliando el campo de funciones exp-log de Hardy y el campo de series aceleradoras-sumables de Ecalle.
El campo disfruta de una rica estructura: un campo ordenado con una noción de series y sumas generalizadas, con una derivación compatible con antiderivación distinguida, funciones exponenciales y logaritmos compatibles y una noción de composición formal de series.
Ejemplos y contraejemplos
Hablando informalmente, las transseries exp-log son series formales de Hahn bien basadas (es decir, inversas bien ordenadas) de poderes reales del infinito positivo indeterminado, exponenciales, logaritmos y sus composiciones, con coeficientes reales. Dos condiciones adicionales importantes son que la profundidad exponencial y logarítmica de una transserie exp-log que es el número máximo de iteraciones de exp y log que ocurren en debe ser finito.
Las siguientes series formales son transseries log-exp:
Las siguientes series formales no son transseries log-exp:
- esta serie no está bien basada.
- la profundidad logarítmica de esta serie es infinita
- las profundidades exponenciales y logarítmicas de esta serie son infinitas
Es posible definir campos diferenciales de transseries que contienen las dos últimas series, pertenecen respectivamente a y (consulte el párrafo Uso de números surrealistas a continuación).
Introducción
Un hecho notable es que las tasas de crecimiento asintótico de funciones elementales no trigonométricas e incluso todas las funciones definibles en la estructura teórica del modelo del campo exponencial ordenado de números reales son todos comparables: Para todos y , tenemos o , dónde medio . La clase de equivalencia de bajo la relación es el comportamiento asintótico de , también llamado el germen de(o el germen de en el infinito).
El campo de las transseries puede verse intuitivamente como una generalización formal de estas tasas de crecimiento: además de las operaciones elementales, las transseries se cierran bajo "límites" para secuencias apropiadas con profundidad exponencial y logarítmica acotada. Sin embargo, una complicación es que las tasas de crecimiento no son de Arquímedes y, por lo tanto, no tienen la propiedad de límite superior mínimo . Podemos abordar esto asociando una secuencia con el límite superior mínimo de complejidad mínima, de manera análoga a la construcción de números surrealistas. Por ejemplo, está asociado con en vez de porque decae demasiado rápido, y si identificamos el decaimiento rápido con la complejidad, tiene una complejidad mayor de la necesaria (además, debido a que solo nos preocupamos por el comportamiento asintótico, la convergencia puntual no es dispositivo).
Debido a la comparabilidad, las transseries no incluyen tasas de crecimiento oscilatorio (como ). Por otro lado, existen transseries comoque no corresponden directamente a series convergentes o funciones de valor real. Otra limitación de las transseries es que cada una de ellas está limitada por una torre de exponenciales, es decir, una iteración finita de , excluyendo así la tetración y otras funciones transexponenciales, es decir, funciones que crecen más rápido que cualquier torre de exponenciales. Hay formas de construir campos de transseries generalizadas que incluyen términos transexponenciales formales, por ejemplo, soluciones formalesde la ecuación de Abel. [3]
Construcción formal
Las transseries se pueden definir como expresiones formales (potencialmente infinitas), con reglas que definen qué expresiones son válidas, comparación de transseries, operaciones aritméticas e incluso diferenciación. Luego, se pueden asignar transseries apropiadas a las funciones o gérmenes correspondientes, pero hay sutilezas que involucran la convergencia. Incluso a las transseries que divergen a menudo se les pueden asignar de manera significativa (y única) tasas de crecimiento reales (que concuerdan con las operaciones formales de las transseries) utilizando acelero -suma , que es una generalización de la suma de Borel .
Las transseries pueden formalizarse de varias formas equivalentes; usamos uno de los más simples aquí.
Una transserie es una suma bien basada,
con profundidad exponencial finita, donde cada es un número real distinto de cero y es un transmonomio mónicoes un transmonomio pero no es monico a menos que el coeficiente; cadaes diferente; el orden de los sumandos es irrelevante).
La suma puede ser infinita o transfinita; generalmente se escribe en orden decreciente.
Aquí, bien basado significa que no hay una secuencia ascendente infinita(ver bien ordenamiento ).
Un transmonomio mónico es uno de 1, x , log x , log log x , ..., e purely_large_transseries .
Nota: Porque , no lo incluimos como primitivo, pero muchos autores lo hacen; Transseries sin registro no incluyen pero esta permitido. Además, se evita la circularidad en la definición porque purely_large_transseries (arriba) tendrá una profundidad exponencial menor; la definición funciona por recursividad sobre la profundidad exponencial. Consulte "Transseries Log-exp como serie de Hahn iterada" (a continuación) para ver una construcción que utiliza y separa explícitamente diferentes etapas.
Una transserie puramente grande es una transserie no vacía con todo .
Las transseries tienen una profundidad exponencial finita , donde cada nivel de anidación de e o log aumenta la profundidad en 1 (por lo que no podemos tener x + log x + log log x + ...).
La adición de transseries se realiza a plazos: (la ausencia de un término se equipara con un coeficiente cero).
Comparación:
El término más significativo de es para el más grande (debido a que la suma está bien basada, esto existe para transseries distintas de cero). es positivo si el coeficiente del término más significativo es positivo (por eso usamos 'puramente grande' arriba). X > Y si si X - Y es positivo.
Comparación de transmonomios mónicos:
- estas son las únicas igualdades en nuestra construcción.
si (además ).
Multiplicación:
Esto esencialmente aplica la ley distributiva al producto; debido a que la serie está bien basada, la suma interna siempre es finita.
Diferenciación:
(la división se define mediante la multiplicación).
Con estas definiciones, transseries es un campo diferencial ordenado. Transseries también es un campo valorado , con la valoración dada por el transmonomio mónico principal, y la correspondiente relación asintótica definida para por Si (dónde es el valor absoluto).
Otras construcciones
Transseries log-exp como serie de Hahn iterada
Transseries sin troncos
Primero definimos el subcampo de de las llamadas transseries sin registro . Son transseries que excluyen cualquier término logarítmico.
Definición inductiva:
Para definiremos un grupo multiplicativo linealmente ordenado de monomios. Entonces dejamosdenotar el campo de las series bien basadas. Este es el conjunto de mapascon soporte bien basado (es decir, inverso bien ordenado), equipado con suma puntual y producto Cauchy (ver serie Hahn ). En, distinguimos el subanillo (no unital) de transseries puramente grandes , que son series cuyo soporte contiene solo monomios que se encuentran estrictamente por encima.
Empezamos con equipado con el producto y el orden .
Si es tal que , y por lo tanto y están definidos, dejamos denotar el conjunto de expresiones formales dónde y . Esto forma un grupo conmutativo ordenado linealmente bajo el producto y el orden lexicográfico si y solo si o ( y ).
La inclusión natural de dentro dado identificando y inductivamente proporciona una incrustación natural de dentro , y por lo tanto una incrustación natural de dentro . Entonces podemos definir el grupo conmutativo ordenado linealmente y el campo ordenado que es el campo de las transseries sin registro.
El campo es un subcampo adecuado del campo de series bien basadas con coeficientes reales y monomios en . De hecho, cada serie en tiene una profundidad exponencial acotada, es decir, el número entero menos positivo tal que , mientras que la serie
no tiene tal límite.
Exponenciación en :
El campo de las transseries sin registro está equipado con una función exponencial que es un morfismo específico . Dejar Sea una transserie sin registro y deje ser la profundidad exponencial de , entonces . Escribir como la suma en dónde , es un número real y es infinitesimal (cualquiera de ellos podría ser cero). Entonces la suma formal de Hahn
converge en , y definimos dónde es el valor de la función exponencial real en .
Composición derecha con :
Una composición correcta con la serie se puede definir por inducción en la profundidad exponencial por
con . De ello se deduce inductivamente que los monomios son conservados por por lo que en cada paso inductivo las sumas están bien basadas y, por lo tanto, bien definidas.
Transseries log-exp
Definición:
La función definido anteriormente no está en por lo que el logaritmo se define solo parcialmente en : por ejemplo la serie no tiene logaritmo. Además, cada transserie positiva infinita sin logaritmos es mayor que alguna potencia positiva de. Para pasar de a , uno puede simplemente "conectar" a la variable de logaritmos iterados formales en serie que se comportará como el recíproco formal de la -pliegue exponencial iterado término denotado .
Para dejar denotar el conjunto de expresiones formales dónde . Convertimos esto en un grupo ordenado definiendoy definiendo Cuándo . Definimos. Si y nosotros incrustamos dentro identificando un elemento con el término
Entonces obtenemos como el sindicato dirigido
En la composición correcta con está naturalmente definido por
Exponencial y logaritmo:
La exponenciación se puede definir en de forma similar a las transseries sin registro, pero aquí también tiene un recíproco en . De hecho, para una serie estrictamente positiva, escribir dónde es el monomio dominante de (elemento más importante de su apoyo), es el coeficiente real positivo correspondiente, y es infinitesimal. La suma formal de Hahn
converge en . Escribir dónde en sí mismo tiene la forma dónde y . Definimos. Finalmente establecemos
Usando números surrealistas
Construcción directa de transseries log-exp
También se puede definir el campo de transseries log-exp como un subcampo del campo ordenado de números surrealistas. [4] El campoestá equipado con las funciones exponenciales y logarítmicas de Gonshor-Kruskal [5] y con su estructura natural de campo de series bien basadas en la forma normal de Conway. [6]
Definir , el subcampo de generado por y el número surrealista infinito positivo más simple (que corresponde naturalmente al ordinal , y como una transserie a la serie ). Entonces para, definir como el campo generado por , exponenciales de elementos de y logaritmos de elementos estrictamente positivos de , así como (Hahn) sumas de familias sumables en . La Union es naturalmente isomorfo a . De hecho, existe un isomorfismo único que envía a y conmuta con exponenciación y sumas de familias sumables en acostado en .
Otros campos de transseries
Continuando este proceso por inducción transfinita en más allá de , tomando uniones en ordinales límite, se obtiene un campo del tamaño de clase adecuado canónicamente equipado con una derivación y una composición que se extiende a la de(ver Operaciones en transseries a continuación).
Si en lugar de uno comienza con el subcampo generado por y todas las iteraciones finitas de a , y para es el subcampo generado por , exponenciales de elementos de y sumas de familias sumables en , entonces se obtiene una copia isomorfa del campo de transseries exponencial-logarítmica , que es una extensión adecuada deequipado con una función exponencial total. [7]
La derivación Berarducci-Mantova [8] en coincide en con su derivación natural, y es único para satisfacer las relaciones de compatibilidad con la estructura de campo ordenado exponencial y la estructura de campo de serie generalizada de y
Contrariamente a la derivación en y no es sobreyectiva: por ejemplo, la serie
no tiene antiderivada en o (esto está relacionado con el hecho de que esos campos no contienen función transexponencial).
Propiedades adicionales
Operaciones en transseries
Operaciones en el campo ordenado exponencial diferencial
Las transseries tienen propiedades de cierre muy fuertes y muchas operaciones se pueden definir en transseries:
Integración: cada transserie log-exp tiene una antiderivada única con término constante cero , y .
Antiderivada logarítmica: para , hay con .
Nota 1. Las dos últimas propiedades significan queLiouville está cerrado .
Nota 2. Al igual que una función elemental no trigonométrica, cada transserie infinita positiva tiene exponencialidad integral, incluso en este sentido fuerte:
El número es único, se llama exponencialidad de.
Composición de transseries
Una propiedad original de es que admite una composición (dónde es el conjunto de transseries log-exp infinitas positivas) que nos permite ver cada transserie log-exp en función de . Hablando informalmente, para y , las series se obtiene reemplazando cada ocurrencia de la variable en por .
Propiedades
Asociatividad: para y , tenemos y .
Compatibilidad de composiciones adecuadas: para , la función es un automorfismo de campo de que conmuta con sumas formales, envía sobre , sobre y sobre . También tenemos.
Unicidad: la composición es única para satisfacer las dos propiedades anteriores.
Monotonicidad: para , la función es constante o estrictamente monótona en . La monotonía depende del signo de.
Regla de la cadena: para y , tenemos .
Inverso funcional: para , hay una serie única con .
Expansiones de Taylor: cada transserie log-exp tiene una expansión de Taylor alrededor de cada punto en el sentido de que para cada y para lo suficientemente pequeño , tenemos
donde la suma es una suma formal de Hahn de una familia sumable.
Iteración fraccionada: para con exponencialidad y cualquier numero real , la iteración fraccionaria de se define. [9]
Decidibilidad y teoría de modelos
Teoría del campo diferencial ordenado diferencialmente valorado
La teoria de es decidible y puede axiomatizarse de la siguiente manera (este es el teorema 2.2 de Aschenbrenner et al.):
es un campo diferencial ordenado valorado.
Propiedad de valor intermedio (IVP):
donde P es un polinomio diferencial, es decir, un polinomio en
En esta teoría, la exponenciación se define esencialmente para funciones (usando diferenciación) pero no constantes; de hecho, cada subconjunto definible dees semialgebraico .
es el campo de transseries acelero-sumables, y usando acelero-suma, tenemos el correspondiente campo de Hardy , que se conjetura que es el máximo campo de Hardy correspondiente a un subcampo de. (Esta conjetura es informal ya que no hemos definido qué isomorfismos de los campos de Hardy en subcampos diferenciales de esta permitido.) se conjetura que satisface los axiomas anteriores de . Sin definir acelero-sumatoria, observamos que cuando las operaciones en transseries convergentes producen una divergente mientras que las mismas operaciones en los gérmenes correspondientes producen un germen válido, entonces podemos asociar las transseries divergentes con ese germen.
Se dice que un campo Hardy es máximo si no está adecuadamente contenido en ningún campo Hardy. Mediante una aplicación del lema de Zorn, cada campo Hardy está contenido en un campo Hardy máximo. Se conjetura que todos los campos máximos de Hardy son equivalentes elementales como campos diferenciales y, de hecho, tienen la misma teoría de primer orden que. [10] Las transseries logarítmicas no corresponden en sí mismas a un campo de Hardy máximo, ya que no todas las transseries corresponden a una función real, y los campos de Hardy máximos siempre contienen funciones transexponenciales. [11]
^ Ecalle, Jean, Introduction aux fonctions analyzables et preuve constructive de la conjecture de Dulac , Actualités mathématiques (París), Hermann, 1992
^ Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Transseries como gérmenes de funciones surrealistas , Transactions of the American Mathematical Society, 2017
^ Gonshor, Harry, Introducción a la teoría de los números surrealistas , 'Cambridge University Press', 1986
^ Conway, John, Horton, Sobre números y juegos , Academic Press, Londres, 1976
^ Kuhlmann, Salma y Tressl, Marcus, Comparación de series exponencial-logarítmica y logarítmica-exponencial , Mathematical Logic Quarterly, 2012
^ Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Números surrealistas, derivaciones y transseries , European Mathematical Society, 2015
^ Edgar, GA (2010), iteración fraccionada de series y transseries , arXiv : 1002.2378 , Bibcode : 2010arXiv1002.2378E
^ Aschenbrenner, Matthias y van den Dries, Lou y van der Hoeven, Joris, Sobre números, gérmenes y transseries , In Proc. En t. Cong. de Matemáticas. , vol. 1, págs. 1–24, 2018
^ Boshernitzan, Michael, Campos de Hardy y existencia de funciones transexponenciales , In aequationes mathicae , vol. 30, número 1, págs. 258-280, 1986.
Edgar, GA (2010), "Transseries for beginners", Real Analysis Exchange , 35 (2): 253–310, arXiv : 0801.4877 , doi : 10.14321 / realanalexch.35.2.0253.
Aschenbrenner, Matthias; Dries, Lou van den; Hoeven, Joris van der (2017), Sobre números, gérmenes y transseries , arXiv : 1711.06936 , Bibcode : 2017arXiv171106936A.