El equilibrio armónico es un método introducido originalmente por Michel Nakhla . Se utiliza para calcular la respuesta en estado estable de ecuaciones diferenciales no lineales , [1] y se aplica principalmente a circuitos eléctricos no lineales [2] [3] . [4] Es un método en el dominio de la frecuencia para calcular el estado estacionario, a diferencia de los diversos métodos del estado estacionario en el dominio del tiempo . El nombre "equilibrio armónico" es descriptivo del método, que comienza con la ley actual de Kirchhoff escrita en el dominio de la frecuencia y un número elegido de armónicos. Una señal sinusoidal aplicada a un componente no lineal en un sistema generaráarmónicos de la frecuencia fundamental. Efectivamente, el método asume que la solución se puede representar mediante una combinación lineal de sinusoides, luego equilibra las sinusoides de corriente y voltaje para satisfacer la ley de Kirchhoff. El método se usa comúnmente para simular circuitos que incluyen elementos no lineales , [5] y es más aplicable a sistemas con retroalimentación en los que ocurren ciclos límite .
Los circuitos de microondas fueron la aplicación original de los métodos de equilibrio armónico en ingeniería eléctrica. Los circuitos de microondas eran adecuados porque, históricamente, los circuitos de microondas constan de muchos componentes lineales que pueden representarse directamente en el dominio de la frecuencia, además de algunos componentes no lineales. Los tamaños de los sistemas eran típicamente pequeños. Para circuitos más generales, el método se consideró poco práctico para todos excepto para estos circuitos muy pequeños hasta mediados de la década de 1990, cuando se aplicaron los métodos subespaciales de Krylov al problema. [6] [7] La aplicación de métodos subespaciales de Krylov preacondicionados permitió resolver sistemas mucho más grandes, tanto en tamaño de circuito como en número de armónicos. Esto hizo práctico el uso actual de métodos de equilibrio armónico para analizar circuitos integrados de radiofrecuencia (RFIC).
Algoritmo
El algoritmo de equilibrio armónico es una versión especial del método de Galerkin . Se utiliza para el cálculo de soluciones periódicas de sistemas de ecuaciones algebraicas diferenciales autónomas y no autónomas . El tratamiento de los sistemas no autónomos es algo más sencillo que el tratamiento de los autónomos. Un sistema DAE no autónomo tiene la representación
con una función suficientemente suave dónde es el número de ecuaciones y son marcadores de posición para el tiempo, el vector de las incógnitas y el vector de las derivadas del tiempo.
El sistema no es autónomo si la función no es constante para (algunos) fijo y . Sin embargo, requerimos que haya un período de excitación conocido tal que es -periódico.
Un candidato natural establecido para el -soluciones periódicas de las ecuaciones del sistema es el espacio de Sobolev de funciones débilmente diferenciables en el intervalo con condiciones de contorno periódicas . Suponemos que la suavidad y la estructura de asegura que es cuadrado integrable para todos.
El sistema de funciones armónicas es una base de Schauder dey forma una base de Hilbert del espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables. Por lo tanto, cada candidato a solución puede ser representado por una serie de Fourier con coeficientes de Fourier y la ecuación del sistema se satisface en el sentido débil si para cada función base la ecuación variacional
se ha completado. Esta ecuación variacional representa una secuencia infinita de ecuaciones escalares ya que tiene que ser probada para el número infinito de funciones base. en .
El enfoque de Galerkin para el equilibrio armónico es proyectar el conjunto candidato, así como el espacio de prueba para la ecuación variacional al subespacio de dimensión finita abarcado por la base finita. .
Esto da la solución de dimensión finita y el conjunto finito de ecuaciones
que se puede resolver numéricamente.
En el contexto especial de la electrónica, el algoritmo comienza con la ley de corriente de Kirchhoff escrita en el dominio de la frecuencia . Para aumentar la eficiencia del procedimiento, el circuito puede dividirse en sus partes lineales y no lineales, ya que la parte lineal se describe y calcula fácilmente usando análisis nodal directamente en el dominio de la frecuencia.
Primero, se hace una suposición inicial para la solución, luego continúa un proceso iterativo:
- Voltajes se utilizan para calcular las corrientes de la parte lineal, en el dominio de la frecuencia.
- Voltajes luego se utilizan para calcular las corrientes en la parte no lineal, . Dado que los dispositivos no lineales se describen en el dominio del tiempo, los voltajes en el dominio de la frecuenciase transforman en el dominio del tiempo, normalmente utilizando transformadas rápidas de Fourier inversas. Luego, los dispositivos no lineales se evalúan utilizando las formas de onda de voltaje en el dominio del tiempo para producir sus corrientes en el dominio del tiempo. A continuación, las corrientes se transforman de nuevo en el dominio de la frecuencia.
- Según las leyes de circuito de Kirchhoff , la suma de las corrientes debe ser cero,. Se utiliza un proceso iterativo, generalmente iteración de Newton , para actualizar los voltajes de la red. tal que la corriente residual esta reducido. Este paso requiere la formulación del jacobiano .
La convergencia se alcanza cuando es aceptablemente pequeño, en cuyo punto se conocen todos los voltajes y corrientes de la solución de estado estacionario, que a menudo se representan como coeficientes de Fourier.
Herramientas
Está disponible para descargar una herramienta de equilibrio armónico, denominada Agile , para circuitos de microondas. También se desarrolló una versión paralelizada [8] , pero esta versión no está disponible. Sandia National Labs desarrolló Xyce , un simulador electrónico paralelo de alto rendimiento que puede realizar análisis de balance armónico.
El método de equilibrio armónico también es compatible de forma nativa para simulaciones generales de elementos finitos multifísicos no lineales en la biblioteca de código abierto C ++ FEM Sparselizard .
Referencias
- ^ Deuflhard, Peter (2006). Métodos de Newton para problemas no lineales . Berlín: Springer-Verlag. Sección 7.3.3 .: Método de colocación de Fourier.
- ^ Gilmore, RJ; Steer, MB (1991). "Análisis de circuitos no lineales utilizando el método de equilibrio armónico: una revisión del arte. Parte I. Conceptos introductorios". En t. J. Microw. Ingeniería asistida por computación Mill.-Wave . 1 : 22–37. doi : 10.1002 / mmce.4570010104 .
- ^ Curtice, WR, Ettenberg, M. (4 a 6 de junio de 1985). "Un modelo FET de GaAs no lineal para su uso en el diseño de circuitos de salida para amplificadores de potencia". Recopilación del Simposio Internacional de Microondas de IEEE (MTT-S) . St. Louis, MO, EE. UU .: 405–408.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Nakhla, Michel S .; Vlach, Jiri (febrero de 1976). "Una técnica de equilibrio armónico por partes para la determinación de la respuesta periódica de sistemas no lineales". Transacciones IEEE en circuitos y sistemas . CAS-23: 85–91. ISSN 0098-4094 .
- ^ Maas, Stephen A. (2003). Circuitos no lineales de microondas y RF . Casa Artech. ISBN 978-1-58053-484-0.
- ^ Feldmann, P .; Melville, B .; Long, D. (1996). Análisis eficiente en el dominio de la frecuencia de grandes circuitos analógicos no lineales . Actas de la Conferencia sobre circuitos integrados personalizados . págs. 461–464. doi : 10.1109 / CICC.1996.510597 . ISBN 978-0-7803-3117-4.
- ^ Brachtendorf, HG; Welsch, G .; Laur, R. (1995). Simulación rápida del estado estable de circuitos mediante la técnica de equilibrio armónico . Actas, Simposio Internacional de Circuitos y Sistemas . 2 . pag. 1388. doi : 10.1109 / ISCAS.1995.520406 . ISBN 978-0-7803-2570-8.
- ^ Rhodes, D .; Perlman, B. (mayo de 1999). "Cálculo paralelo para simulación de circuitos de microondas". Transacciones IEEE sobre teoría y técnicas de microondas . 45 (5): 587–592. doi : 10.1109 / 22.575573 .