En mecánica clásica , un oscilador armónico es un sistema que, cuando se desplaza de su posición de equilibrio , experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x :
donde k es una constante positiva .
Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se denomina oscilador armónico simple , y experimenta un movimiento armónico simple : oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud ).
Si también está presente una fuerza de fricción ( amortiguación ) proporcional a la velocidad , el oscilador armónico se describe como un oscilador amortiguado . Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:
- Oscila con una frecuencia más baja que en el caso no amortiguado y una amplitud que disminuye con el tiempo ( oscilador subamortiguado ).
- Decaimiento a la posición de equilibrio, sin oscilaciones ( oscilador sobreamortiguado ).
La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado se produce en un valor particular del coeficiente de fricción y se denomina críticamente amortiguado .
Si está presente una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador accionado .
Los ejemplos mecánicos incluyen péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento ), masas conectadas a resortes y sistemas acústicos . Otros sistemas análogos incluyen osciladores armónicos eléctricos como circuitos RLC . El modelo de oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sujeta a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos ocurren ampliamente en la naturaleza y se explotan en muchos dispositivos artificiales, como relojes y circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.
Oscilador armónico simple
Un oscilador armónico simple es un oscilador que no es impulsado ni amortiguado . Consiste en una masa m , que experimenta una sola fuerza F , que tira de la masa en la dirección del punto x = 0 y depende solo de la posición x de la masa y una constante k . El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para el sistema es
Resolviendo esta ecuación diferencial , encontramos que el movimiento es descrito por la función
dónde
El movimiento es periódica , se repite en una sinusoidal de la manera con amplitud constante A . Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período , el tiempo para una sola oscilación o su frecuencia , el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un tiempo determinado t también depende de la fase φ , que determina el punto de inicio de la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa my la constante de fuerza k , mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición inicial y la velocidad .
La velocidad y la aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desplazadas. La velocidad es máxima para el desplazamiento cero, mientras que la aceleración es en la dirección opuesta al desplazamiento.
La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple en la posición x es
Oscilador armónico amortiguado
En osciladores reales, la fricción o la amortiguación ralentizan el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico simple no impulsado la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza de restauración, en un oscilador armónico amortiguado hay además una fuerza de fricción que siempre está en una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibratorios, la fuerza de fricción F f puede modelarse como proporcional a la velocidad v del objeto: F f = - cv , donde c se denomina coeficiente de amortiguación viscoso .
El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para osciladores armónicos amortiguados es entonces
que se puede reescribir en el formulario
dónde
- se denomina " frecuencia angular no amortiguada del oscilador",
- se llama "relación de amortiguación".
El valor de la relación de amortiguamiento ζ determina críticamente el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:
- Sobreamortiguado ( ζ > 1): el sistema vuelve ( decae exponencialmente ) al estado estable sin oscilar. Los valores mayores de la relación de amortiguamiento ζ vuelven al equilibrio más lentamente.
- Críticamente amortiguado ( ζ = 1): el sistema vuelve al estado estable lo más rápido posible sin oscilar (aunque puede ocurrir un sobreimpulso si la velocidad inicial es distinta de cero). Esto a menudo se desea para la amortiguación de sistemas como puertas.
- Subamortiguado ( ζ <1): El sistema oscila (con una frecuencia ligeramente diferente a la del caso no amortiguado) con la amplitud disminuyendo gradualmente a cero. La frecuencia angular del oscilador armónico subamortiguado está dada porla caída exponencial del oscilador armónico subamortiguado está dada por
El factor Q de un oscilador amortiguado se define como
Q está relacionado con la relación de amortiguamiento por la ecuación
Osciladores armónicos impulsados
Los osciladores armónicos impulsados son osciladores amortiguados más afectados por una fuerza aplicada externamente F ( t ).
La segunda ley de Newton toma la forma
Por lo general, se reescribe en el formulario.
Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza motriz, usando las soluciones z ( t ) que satisfacen la ecuación no forzada
y que se puede expresar como oscilaciones sinusoidales amortiguadas:
en el caso donde ζ ≤ 1. La amplitud A y la fase φ determinan el comportamiento necesario para igualar las condiciones iniciales.
Entrada de paso
En el caso de ζ <1 y una entrada de paso unitario con x (0) = 0:
la solucion es
con fase φ dada por
El tiempo que necesita un oscilador para adaptarse a las condiciones externas cambiantes es del orden τ = 1 / ( ζω 0 ). En física, la adaptación se llama relajación y τ se llama tiempo de relajación.
En ingeniería eléctrica, un múltiplo de τ se denomina tiempo de estabilización , es decir, el tiempo necesario para garantizar que la señal esté dentro de una desviación fija del valor final, típicamente dentro del 10%. El término sobreimpulso se refiere a la medida en que el máximo de respuesta excede el valor final, y suboscilación se refiere a la medida en que la respuesta cae por debajo del valor final para los tiempos que siguen al máximo de respuesta.
Fuerza impulsora sinusoidal
En el caso de una fuerza impulsora sinusoidal:
dónde es la amplitud de conducción, y es la frecuencia de conducción de un mecanismo de conducción sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en circuitos RLC impulsados por CA ( resistencia - inductor - condensador ) y sistemas de resortes impulsados que tienen resistencia mecánica interna o resistencia de aire externa .
La solución general es una suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estable que es independiente de las condiciones iniciales y depende solo de la amplitud de conducción., frecuencia de conducción , frecuencia angular no amortiguada y la relación de amortiguación .
La solución de estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido :
dónde
es el valor absoluto de la impedancia o función de respuesta lineal , y
es la fase de la oscilación relativa a la fuerza motriz. El valor de fase generalmente se considera entre -180 ° y 0 (es decir, representa un retraso de fase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).
Para una frecuencia de conducción particular llamada resonancia o frecuencia resonante, la amplitud (para un ) es máxima. Este efecto de resonancia solo ocurre cuando, es decir, para sistemas significativamente subamortiguados. Para sistemas fuertemente subamortiguados, el valor de la amplitud puede llegar a ser bastante grande cerca de la frecuencia resonante.
Las soluciones transitorias son las mismas que las no forzadas () oscilador armónico amortiguado y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron previamente. Por lo general, las soluciones transitorias se extinguen lo suficientemente rápido como para ignorarlas.
Osciladores paramétricos
Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico accionado en el que la energía de accionamiento se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o restauración. Un ejemplo familiar de oscilación paramétrica es "bombear" en un columpio de un patio de recreo . [4] [5] [6] Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin que se aplique ninguna fuerza de impulso externa (empujes), cambiando el momento de inercia del columpio balanceándose hacia adelante y hacia atrás (" bombeo ") o alternativamente de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del swing. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que pueden variarse son su frecuencia de resonancia. y amortiguación .
Los osciladores paramétricos se utilizan en muchas aplicaciones. El oscilador paramétrico varactor clásico oscila cuando la capacitancia del diodo se varía periódicamente. El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En la electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados en guías de ondas / YAG operan de la misma manera. El diseñador varía un parámetro periódicamente para inducir oscilaciones.
Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencia de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, conversión de audio a frecuencias de radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de frecuencia más baja ().
La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema está excitado paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica difiere del forzado, ya que la acción aparece como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto es diferente de la resonancia regular porque exhibe el fenómeno de inestabilidad .
Ecuación del oscilador universal
La ecuacion
se conoce como la ecuación del oscilador universal , ya que todos los sistemas oscilatorios lineales de segundo orden pueden reducirse a esta forma. [ cita requerida ] Esto se hace a través de la no dimensionalización .
Si la función de forzamiento es f ( t ) = cos ( ωt ) = cos ( ωt c τ ) = cos ( ωτ ), donde ω = ωt c , la ecuación se convierte en
La solución a esta ecuación diferencial contiene dos partes: el "transitorio" y el "estado estable".
Solución transitoria
La solución basada en resolver la ecuación diferencial ordinaria es para constantes arbitrarias c 1 y c 2
La solución transitoria es independiente de la función de forzamiento.
Solución de estado estacionario
Aplique el " método de variables complejas " resolviendo la siguiente ecuación auxiliar y luego encontrando la parte real de su solución:
Suponiendo que la solución tiene la forma
Sus derivadas de cero a segundo orden son
Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial se obtiene
Dividir por el término exponencial de la izquierda da como resultado
La equiparación de las partes real e imaginaria da como resultado dos ecuaciones independientes
Parte de amplitud
Cuadrar ambas ecuaciones y sumarlas da
Por lo tanto,
Compare este resultado con la sección de teoría sobre resonancia , así como con la "parte de magnitud" del circuito RLC . Esta función de amplitud es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.
Parte de fase
Para resolver φ , divide ambas ecuaciones para obtener
Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.
Solución completa
La combinación de las porciones de amplitud y fase da como resultado la solución de estado estable
La solución de la ecuación del oscilador universal original es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estable:
Para obtener una descripción más completa de cómo resolver la ecuación anterior, consulte EDO lineales con coeficientes constantes .
Sistemas equivalentes
Los osciladores armónicos que se producen en varias áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (consulte la ecuación del oscilador universal más arriba). A continuación se muestra una tabla que muestra cantidades análogas en cuatro sistemas de oscilador armónico en mecánica y electrónica. Si los parámetros análogos en la misma línea de la tabla reciben valores numéricamente iguales, el comportamiento de los osciladores (su forma de onda de salida, frecuencia resonante, factor de amortiguación, etc.) es el mismo.
Mecánica traslacional | Mecánica rotacional | Circuito serie RLC | Circuito RLC paralelo |
---|---|---|---|
Posición | Ángulo | Cargo | Enlace de flujo |
Velocidad | Velocidad angular | Actual | Voltaje |
Masa | Momento de inercia | Inductancia | Capacidad |
Impulso | Momento angular | Enlace de flujo | Cargo |
Constante de resorte | Constante de torsión | Elastancia | Renuencia magnética |
Mojadura | Fricción rotacional | Resistencia | Conductancia |
unidad de fuerza | Par de accionamiento | Voltaje | Actual |
Frecuencia resonante no amortiguada : | |||
Relación de amortiguación : | |||
Ecuación diferencial: | |||
Aplicación a una fuerza conservadora
El problema del oscilador armónico simple ocurre con frecuencia en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservadora , en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.
Una fuerza conservadora es aquella que está asociada con una energía potencial . La función de energía potencial de un oscilador armónico es
Dada una función de energía potencial arbitraria , se puede hacer una expansión de Taylor en términos de alrededor de un mínimo de energía) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones desde el equilibrio.
Porque es un mínimo, la primera derivada evaluada en debe ser cero, por lo que el término lineal desaparece:
El término constante V ( x 0 ) es arbitrario y, por lo tanto, puede descartarse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple:
Por lo tanto, dada una función de energía potencial arbitraria con una segunda derivada que no desaparece, se puede usar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio.
Ejemplos de
Péndulo simple
Suponiendo que no hay amortiguamiento, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple de longitud , dónde es la aceleración local de la gravedad , es
Si el desplazamiento máximo del péndulo es pequeño, podemos usar la aproximación y en su lugar considera la ecuación
La solución general a esta ecuación diferencial es
dónde y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Utilizando como condiciones iniciales y , la solución viene dada por
dónde es el ángulo más grande alcanzado por el péndulo (es decir, es la amplitud del péndulo). El período , el tiempo para una oscilación completa, viene dado por la expresión
que es una buena aproximación del período real cuando es pequeño. Nótese que en esta aproximación el período es independiente de la amplitud . En la ecuación anterior, representa la frecuencia angular.
Sistema de resorte / masa
Cuando un resorte es estirado o comprimido por una masa, el resorte desarrolla una fuerza restauradora. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte se comprime o se estira una cierta longitud:
donde F es la fuerza, k es la constante del resorte yx es el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio. El signo menos en la ecuación indica que la fuerza ejercida por el resorte siempre actúa en una dirección opuesta al desplazamiento (es decir, la fuerza siempre actúa hacia la posición cero), y así evita que la masa vuele hacia el infinito.
Al usar el equilibrio de fuerzas o un método de energía, se puede demostrar fácilmente que el movimiento de este sistema viene dado por la siguiente ecuación diferencial:
siendo esta última la segunda ley del movimiento de Newton .
Si el desplazamiento inicial es A y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación viene dada por
Dado un resorte ideal sin masa, es la masa al final del resorte. Si el resorte en sí tiene masa, su masa efectiva debe incluirse en.
Variación de energía en el sistema de amortiguación de muelles
En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía: energía potencial y energía cinética . Cuando un resorte se estira o se comprime, almacena energía potencial elástica, que luego se transfiere a energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte está determinada por la ecuación
Cuando el resorte se estira o se comprime, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial del resorte. Por conservación de energía, suponiendo que el dato se define en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su máxima energía potencial, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se suelta el resorte, intenta volver al equilibrio y toda su energía potencial se convierte en energía cinética de la masa.
Definición de términos
Símbolo | Definición | Dimensiones | Unidades SI |
---|---|---|---|
Aceleración de masa | m / s 2 | ||
Amplitud máxima de oscilación | metro | ||
Coeficiente de amortiguación viscoso | N · s / m | ||
Frecuencia | Hz | ||
Fuerza motriz | norte | ||
Aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. | m / s 2 | ||
Unidad imaginaria, | - | - | |
Constante de resorte | Nuevo Méjico | ||
Masa | kg | ||
Factor de calidad | - | - | |
Periodo de oscilación | s | ||
Hora | s | ||
Energía potencial almacenada en el oscilador | J | ||
Posición de masa | metro | ||
Relación de amortiguación | - | - | |
Cambio de fase | - | rad | |
Frecuencia angular | rad / s | ||
Frecuencia angular de resonancia natural | rad / s |
Ver también
- Oscilador anarmonico
- Velocidad critica
- Masa efectiva (sistema resorte-masa)
- Modo normal
- Oscilador paramétrico
- Fasor
- Factor Q
- Oscilador armónico cuántico
- Oscilador armónico radial
- Péndulo elástico
Notas
- ^ Fowles y Cassiday (1986 , p. 86)
- ^ Kreyszig (1972 , p. 65)
- ^ Tipler (1998 , págs. 369,389)
- ^ Caso, William. "Dos formas de conducir el columpio de un niño" . Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2011 . Consultado el 27 de noviembre de 2011 .
- ^ Caso, WB (1996). "El bombeo de un columpio desde la posición de pie". Revista estadounidense de física . 64 (3): 215–220. Código bibliográfico : 1996AmJPh..64..215C . doi : 10.1119 / 1.18209 .
- ^ Roura, P .; González, JA (2010). "Hacia una descripción más realista del bombeo oscilante debido al intercambio de momento angular". Revista europea de física . 31 (5): 1195–1207. Código Bibliográfico : 2010EJPh ... 31.1195R . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 31/5/020 .
Referencias
- Fowles, Grant R .; Cassiday, George L. (1986), Mecánica analítica (5.a ed.), Fort Worth: Saunders College Publishing , ISBN 0-03-96746-5, LCCN 93085193Mantenimiento de CS1: errores de ISBN ignorados ( enlace )
- Hayek, Sabih I. (15 de abril de 2003). "Vibración mecánica y amortiguación". Enciclopedia de Física Aplicada . WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi : 10.1002 / 3527600434.eap231 . ISBN 9783527600434.
- Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
- Serway, Raymond A .; Jewett, John W. (2003). Física para científicos e ingenieros . Brooks / Cole. ISBN 0-534-40842-7.
- Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: vol. 1 (4ª ed.). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
- Wylie, CR (1975). Matemáticas de Ingeniería Avanzada (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.
enlaces externos
- El oscilador armónico de las conferencias de física de Feynman
- "Oscilador, armónico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Oscilador armónico de The Chaos Hypertextbook
- Un subprograma Java de oscilador armónico con amortiguación proporcional a la velocidad o amortiguación causada por la fricción seca
- Oszilador armónico amortiguado Solución detallada de beltoforion.de