En el estudio matemático de los procesos estocásticos , una cadena de Harris es una cadena de Markov donde la cadena regresa a una parte particular del espacio de estados un número ilimitado de veces. [1] Las cadenas de Harris son procesos regenerativos y llevan el nombre de Theodore Harris . La teoría de las cadenas de Harris y la recurrencia de Harris es útil para tratar las cadenas de Markov en espacios de estados generales (posiblemente incontablemente infinitos).
Definición
Sea { X n } una cadena de Markov en un espacio Ω estado general con estocástico kernel K . El núcleo representa una ley de probabilidad de transición de un solo paso generalizada, de modo que P [ X n +1 ∈ C | X n = x ] = K ( x , C ) para todos los estados x en Ω y todos los conjuntos medibles C ⊆ Ω. La cadena { X n } es una cadena de Harris [2] si existe A ⊆ Ω, ϵ > 0, y la medida de probabilidad ρ con ρ (Ω) = 1 tal que
- Si τ A : = inf { n ≥ 0: X n ∈ A }, entonces P (τ A <∞ | X 0 = x ) = 1 para todo x ∈ Ω.
- Si x ∈ A y C ⊆ Ω (donde C es medible), entonces K ( x , C ) ≥ ερ ( C ).
La primera parte de la definición asegura que la cadena regrese a algún estado dentro de A con probabilidad 1, independientemente de dónde comience. De ello se deduce que visita el estado A infinitamente a menudo (con probabilidad 1). La segunda parte implica que una vez que la cadena de Markov está en el estado A , su siguiente estado se puede generar con la ayuda de un lanzamiento de moneda Bernoulli independiente. Para ver esto, primero tenga en cuenta que el parámetro ε debe estar entre 0 y 1 (esto se puede mostrar aplicando la segunda parte de la definición al conjunto C = Ω). Ahora sea x un punto en A y suponga que X n = x . Para elegir el siguiente estado X n +1 , lanza de forma independiente una moneda sesgada con probabilidad de éxito ϵ. Si el lanzamiento de la moneda tiene éxito, elija un siguiente estado X n +1 ∈ Ω de acuerdo con la medida de probabilidad ρ. De lo contrario (y si ϵ <1), elija un siguiente estado X n +1 de acuerdo con la medida P [ X n +1 ∈ C | X n = x ] = ( K ( x , C ) - ερ ( C )) / (1 - ε ) (definido para todos los subconjuntos medibles C ⊆ Ω).
Dos procesos aleatorios { X n } y { Y n } que tienen la misma ley de probabilidad y son cadenas Harris de acuerdo con la definición anterior se pueden acoplar como sigue: Supongamos que X n = x y Y n = y , donde x y y son puntos en A . Usando el mismo lanzamiento de moneda para decidir el siguiente estado de ambos procesos, se deduce que los siguientes estados son los mismos con probabilidad al menos ε.
Ejemplos de
Ejemplo 1: espacio de estado contable
Sea Ω un espacio de estado contable. El núcleo K está definido por las probabilidades de transición condicionales de un paso P [ X n +1 = y | X n = x ] para x , y ∈ Ω. La medida ρ es una función de masa de probabilidad en los estados, de modo que ρ ( x ) ≥ 0 para todo x ∈ Ω, y la suma de las probabilidades ρ (x) es igual a uno. Suponga que la definición anterior se satisface para un conjunto dado A ⊆ Ω y un parámetro dado ε> 0. Entonces P [ X n +1 = c | X n = x ] ≥ ερ ( c ) para todo x ∈ A y todo c ∈ Ω.
Ejemplo 2: Cadenas con densidades continuas
Sea { X n }, X n ∈ R d una cadena de Markov con un núcleo que es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue :
- K ( x , dy ) = K ( x , y ) dy
tal que K ( x , y ) es una función continua .
Elija ( x 0 , y 0 ) tal que K ( x 0 , y 0 )> 0, y sean A y Ω conjuntos abiertos que contengan x 0 y y 0 respectivamente que sean lo suficientemente pequeños para que K ( x , y ) ≥ ε > 0 en A × Ω. Dejando ρ ( C ) = | Ω ∩ C | / | Ω | donde | Ω | es la medida de Lebesgue de Ω, tenemos que (2) en la definición anterior se cumple. Si (1) se cumple, entonces { X n } es una cadena de Harris.
Reducibilidad y periodicidad
En el siguiente ; es decir es la primera vez después del tiempo 0 que el proceso entra en la región . Dejar denotar la distribución inicial de la cadena de Markov, es decir .
Definición: Si por todos, , entonces la cadena de Harris se llama recurrente.
Definición: una cadena de Harris recurrentees aperiódico si, tal que ,
Teorema: Sea ser una cadena de Harris recurrente aperiódica con distribución estacionaria . Si entonces como , dónde denota la variación total para medidas firmadas definidas en el mismo espacio medible.
Referencias
- ^ Asmussen, Søren (2003). "Más temas en la teoría de la renovación y los procesos regenerativos". Probabilidad aplicada y colas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. 51 . págs. 186–219. doi : 10.1007 / 0-387-21525-5_7 . ISBN 978-0-387-00211-8.
- ^ R. Durrett. Probabilidad: teoría y ejemplos . Thomson, 2005. ISBN 0-534-42441-4 .