En probabilidad aplicada , un proceso regenerativo es una clase de proceso estocástico con la propiedad de que ciertas partes del proceso pueden tratarse como estadísticamente independientes entre sí. [2] Esta propiedad se puede utilizar en la derivación de propiedades teóricas de tales procesos.
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Historia
Los procesos regenerativos fueron definidos por primera vez por Walter L. Smith en Proceedings of the Royal Society A en 1955. [3] [4]
Definición
Un proceso regenerativo es un proceso estocástico con puntos temporales en los que, desde un punto de vista probabilístico, el proceso se reinicia. [5] Estos puntos de tiempo pueden estar determinados por la evolución del proceso. Es decir, el proceso { X ( t ), t ≥ 0} es un proceso regenerativo si existen puntos temporales 0 ≤ T 0 < T 1 < T 2 <... tal que el proceso post- T k { X ( T k + t ): t ≥ 0}
- tiene la misma distribución que el proceso post- T 0 { X ( T 0 + t ): t ≥ 0}
- es independiente del proceso pre T k { X ( t ): 0 ≤ t < T k }
para k ≥ 1. [6] Intuitivamente, esto significa que un proceso regenerativo se puede dividir en ciclos iid . [7]
Cuando T 0 = 0, X ( t ) se denomina proceso regenerativo no retardado . De lo contrario, el proceso se denomina proceso regenerativo retardado . [6]
Ejemplos de
- Los procesos de renovación son procesos regenerativos, siendo T 1 la primera renovación. [5]
- Procesos de renovación alternos , donde un sistema alterna entre un estado "encendido" y un estado "apagado". [5]
- Una cadena de Markov recurrente es un proceso regenerativo, siendo T 1 el momento de la primera recurrencia. [5] Esto incluye cadenas de Harris .
- El movimiento browniano reflejado es un proceso regenerativo (en el que se mide el tiempo que tardan las partículas en salir y volver). [7]
Propiedades
- Según el teorema de recompensa por renovación , con probabilidad 1, [8]
- dónde es la duración del primer ciclo y es el valor del primer ciclo.
- Una función medible de un proceso regenerativo es un proceso regenerativo con el mismo tiempo de regeneración [8]
Referencias
- ^ Hurter, AP; Kaminsky, FC (1967). "Una aplicación de procesos estocásticos regenerativos a un problema de control de inventarios". Investigación operativa . 15 (3): 467–472. doi : 10.1287 / opre.15.3.467 . JSTOR 168455 .
- ^ Ross, SM (2010). "Teoría de la renovación y sus aplicaciones". Introducción a los modelos de probabilidad . págs. 421–641. doi : 10.1016 / B978-0-12-375686-2.00003-0 . ISBN 9780123756862.
- ^ Schellhaas, Helmut (1979). "Procesos semi-regenerativos con recompensas ilimitadas". Matemáticas de la investigación operativa . 4 : 70–78. doi : 10.1287 / moor.4.1.70 . JSTOR 3689240 .
- ^ Smith, WL (1955). "Procesos estocásticos regenerativos". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 232 (1188): 6–31. Código Bibliográfico : 1955RSPSA.232 .... 6S . doi : 10.1098 / rspa.1955.0198 .
- ^ a b c d Sheldon M. Ross (2007). Introducción a los modelos de probabilidad . Prensa académica. pag. 442. ISBN 0-12-598062-0.
- ^ a b Haas, Peter J. (2002). "Simulación regenerativa". Redes de Petri estocásticas . Serie Springer en Investigación de Operaciones e Ingeniería Financiera. págs. 189–273. doi : 10.1007 / 0-387-21552-2_6 . ISBN 0-387-95445-7.
- ^ a b Asmussen, Søren (2003). "Procesos regenerativos". Probabilidad aplicada y colas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. 51 . págs. 168-185. doi : 10.1007 / 0-387-21525-5_6 . ISBN 978-0-387-00211-8.
- ^ a b Sigman, Karl (2009) Procesos regenerativos , notas de la conferencia