La recursividad de Panjer es un algoritmo para calcular la aproximación de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria compuesta donde ambos y son variables aleatorias y de tipos especiales. En casos más generales, la distribución de S es una distribución compuesta . La recursividad para los casos especiales considerados fue introducida en un artículo [1] de Harry Panjer ( Profesor Emérito Distinguido , Universidad de Waterloo [2] ). Se utiliza mucho en la ciencia actuarial (ver también riesgo sistémico ).
Preliminares
Estamos interesados en la variable aleatoria compuesta dónde y cumpla las siguientes condiciones previas.
Distribución del tamaño de la reclamación
Asumimos el ser iid e independiente de. Además el tienen que ser distribuidos en celosía con ancho de celosía .
En la práctica actuarial, se obtiene mediante la discretización de la función de densidad de siniestros (superior, inferior ...).
Distribución del número de reclamaciones
El número de reclamaciones N es una variable aleatoria , que se dice que tiene una "distribución de número de reclamación", y que puede tomar valores 0, 1, 2, .... etc. Para la "recursividad de Panjer", la distribución de probabilidad de N tiene que ser miembro de la clase Panjer , también conocida como la clase de distribuciones (a, b, 0) . Esta clase consta de todas las variables aleatorias de conteo que cumplen la siguiente relación:
para algunos y que cumplen . El valor inicial se determina de tal manera que
Las marcas de recursividad Panjer uso de esta relación iterativa para especificar una forma recursiva de la construcción de la distribución de probabilidad de S . En el siguientedenota la función generadora de probabilidad de N : para esto, consulte la tabla en la clase de distribuciones (a, b, 0) .
En el caso de que se conozca el número de reclamación, tenga en cuenta el algoritmo De Pril . [3] Este algoritmo es adecuado para calcular la distribución de la suma devariables aleatorias discretas . [4]
Recursividad
El algoritmo ahora da una recursividad para calcular el .
El valor inicial es con los casos especiales
y
y proceder con
Ejemplo
El siguiente ejemplo muestra la densidad aproximada de dónde y con ancho de celosía h = 0.04. (Ver distribución de Fréchet ).
Como se ha observado, puede surgir un problema en la inicialización de la recursividad. Guégan y Hassani (2009) han propuesto una solución para abordar ese problema. [5]
Referencias
- ^ Panjer, Harry H. (1981). "Evaluación recursiva de una familia de distribuciones compuestas" (PDF) . Boletín ASTIN . Asociación Actuarial Internacional . 12 (1): 22-26. doi : 10.1017 / S0515036100006796 .
- ^ CV , actuaries.org; Página del personal , math.uwaterloo.ca
- ^ Wiki de riesgo de software de Vose: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
- ^ De Pril, N. (1988). "Aproximaciones mejoradas para la distribución agregada de siniestros de una cartera de seguros de vida". Revista actuarial escandinava . 1988 (1-3): 61–68. doi : 10.1080 / 03461238.1988.10413837 .
- ^ Guégan, D .; Hassani, BK (2009). "Un algoritmo de Panjer modificado para cálculos de capital de riesgo operativo". Revista de Riesgo Operacional . 4 (4): 53–72. doi : 10.21314 / JOP.2009.068 .