En la teoría de la probabilidad , se dice que la distribución de una variable aleatoria discreta N cuyos valores son enteros no negativos es miembro de la clase de distribuciones ( a , b , 0) si su función de masa de probabilidad obedece
dónde (previsto y existen y son reales).
Solo hay tres distribuciones discretas que satisfacen la forma completa de esta relación: las distribuciones de Poisson , binomial y binomial negativa . Estas son también las tres distribuciones discretas entre los seis miembros de la familia exponencial natural con funciones de varianza cuadrática (NEF-QVF).
Se pueden definir distribuciones más generales fijando algunos valores iniciales de p j y aplicando la recursividad para definir valores posteriores. Esto puede resultar útil para ajustar distribuciones a datos empíricos. Sin embargo, están disponibles algunas distribuciones más conocidas si la recursividad anterior solo necesita ser válida para un rango restringido de valores de k : [1] por ejemplo, la distribución logarítmica y la distribución uniforme discreta .
La clase de distribuciones ( a , b , 0) tiene aplicaciones importantes en la ciencia actuarial en el contexto de los modelos de pérdidas. [2]
Propiedades
Sundt [3] demostró que sólo la distribución binomial , la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa pertenecen a esta clase de distribuciones, estando cada distribución representada por un signo diferente de a . Además, Fackler [4] demostró que existe una fórmula universal para las tres distribuciones, llamada distribución de Panjer (unida) .
Los parámetros más habituales de estas distribuciones se determinan tanto por una y b . Las propiedades de estas distribuciones en relación con la clase actual de distribuciones se resumen en la siguiente tabla. Tenga en cuenta quedenota la función generadora de probabilidad .
Distribución | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Binomio | |||||||
Poisson | |||||||
Binomio negativo | |||||||
Distribución Panjer |
Tenga en cuenta que la distribución de Panjer se reduce a la distribución de Poisson en el caso límite ; Coincide con la distribución binomial negativa para números reales finitos positivos, y es igual a la distribución binomial para enteros negativos .
Graficado
Una manera fácil de determinar rápidamente si una muestra dada se tomó de una distribución de la clase ( a , b , 0) es graficar la razón de dos datos observados consecutivos (multiplicados por una constante) contra el eje x .
Multiplicando ambos lados de la fórmula recursiva por , usted obtiene
lo que muestra que el lado izquierdo es obviamente una función lineal de . Cuando se utiliza una muestra de datos, una aproximación de la Es necesario hacerlo. Si representa el número de observaciones que tienen el valor , luego es un estimador insesgado del verdadero.
Por lo tanto, si se observa una tendencia lineal, se puede suponer que los datos se toman de una distribución ( a , b , 0). Además, la pendiente de la función sería el parámetro, mientras que la ordenada en el origen sería .
Ver también
Referencias
- ^ Hess, Klaus Th .; Liewald, Anett; Schmidt, Klaus D. (2002). "Una extensión de la recursividad de Panjer" (PDF) . Boletín ASTIN . 32 (2): 283-297. doi : 10.2143 / AST.32.2.1030 . Archivado (PDF) desde el original el 20 de junio de 2009 . Consultado el 18 de junio de 2009 .
- ^ Klugman, Stuart; Panjer, Harry ; Gordon, Willmot (2004). Modelos de pérdidas: de los datos a las decisiones . Series en Probabilidad y Estadística (2ª ed.). Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-21577-6.
- ^ Sundt, Bjørn; Jewell, William S. (1981). "Más resultados sobre la evaluación recursiva de distribuciones compuestas" (PDF) . Boletín ASTIN . 12 (1): 27–39. doi : 10.1017 / S0515036100006802 .
- ^ Fackler, Michael (2009). "Clase Panjer unida - una fórmula para la distribución de Poisson, binomial y binomial negativa" (PDF) . Coloquio ASTIN . Asociación Actuarial Internacional .