La distribución de Fréchet , también conocida como distribución inversa de Weibull, [2] [3] es un caso especial de la distribución generalizada de valores extremos . Tiene la función de distribución acumulativa
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | forma . (Opcionalmente, dos parámetros más) escala (predeterminado:) ubicación del mínimo (predeterminado:) | ||
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Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | |||
Mediana | |||
Modo | |||
Diferencia | |||
Oblicuidad | |||
Ex. curtosis | |||
Entropía | , dónde es la constante de Euler-Mascheroni . | ||
MGF | [1] Nota: Momento existe si | ||
CF | [1] |
donde α > 0 es un parámetro de forma . Se puede generalizar para incluir un parámetro de ubicación m (el mínimo) y un parámetro de escala s > 0 con la función de distribución acumulativa
Llamado así por Maurice Fréchet, quien escribió un artículo relacionado en 1927, [4] Fisher y Tippett realizaron más trabajos en 1928 y Gumbel en 1958. [5] [6]
Caracteristicas
El único parámetro Fréchet con parámetro tiene momento estandarizado
(con ) definido solo para :
dónde es la función Gamma .
En particular:
- Para la expectativa es
- Para la varianza es
El cuantil de orden se puede expresar a través de la inversa de la distribución,
- .
En particular, la mediana es:
El modo de distribución es
Especialmente para el Fréchet de 3 parámetros, el primer cuartil es y el tercer cuartil
Además, los cuantiles para la media y la moda son:
Aplicaciones
- En hidrología , la distribución de Fréchet se aplica a eventos extremos como lluvias máximas anuales de un día y descargas de ríos. [7] La imagen azul, realizada con CumFreq , ilustra un ejemplo de cómo ajustar la distribución de Fréchet a las precipitaciones máximas anuales clasificadas en un día en Omán, mostrando también el cinturón de confianza del 90% según la distribución binomial . Las frecuencias acumuladas de los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones hidrológicas, la distribución se ajusta a través de la distribución de valor extremo generalizada, ya que esto evita imponer el supuesto de que la distribución no tiene un límite inferior (como lo requiere la distribución de Frechet). [ cita requerida ]
- En el análisis de la curva de declive , la distribución de Fréchet puede describir un patrón descendente de los datos de series de tiempo de la tasa de producción de petróleo o gas a lo largo del tiempo para un pozo. [8]
- Una prueba para evaluar si una distribución multivariante es asintóticamente dependiente o independiente consiste en transformar los datos en márgenes estándar de Fréchet utilizando la transformación y luego mapeo de coordenadas cartesianas a pseudopolares . Valores de corresponden a los datos extremos para los cuales al menos un componente es grande mientras aproximadamente 1 o 0 corresponde a que solo un componente sea extremo.
Distribuciones relacionadas
- Si ( Distribución uniforme (continua) ) luego
- Si luego
- Si y luego
- La función de distribución acumulativa de la distribución de Frechet resuelve la ecuación del postulado de máxima estabilidad
- Si entonces su recíproco es distribuido por Weibull :
Propiedades
- La distribución de Frechet es una distribución estable máxima
- El negativo de una variable aleatoria que tiene una distribución de Frechet es una distribución mínima estable
Ver también
- Distribución de Gumbel tipo 2
- Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko
Referencias
- ^ a b Muraleedharan. G, C. Guedes Soares y Cláudia Lucas (2011). "Funciones generadoras de características y momentos de la distribución generalizada de valores extremos (GEV)". En Linda. L. Wright (Ed.), Aumento del nivel del mar, Ingeniería costera, Litorales y mareas , Capítulo 14, págs. 269–276. Editorial Nova Science. ISBN 978-1-61728-655-1
- ^ Khan MS; Pasha GR; Pasha AH (febrero de 2008). "Análisis teórico de la distribución inversa de Weibull" (PDF) . TRANSACCIONES WSEAS en MATEMÁTICAS . 7 (2). págs. 30–38.
- ^ de Gusmão, FelipeR.S. y Ortega, EdwinM.M. y Cordeiro, GaussM. (2011). "La distribución de Weibull inversa generalizada". Papeles estadísticos . 52 (3). Springer-Verlag. págs. 591–619. doi : 10.1007 / s00362-009-0271-3 . ISSN 0932-5026 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Fréchet, M. (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart máximo". Ana. Soc. Polon. Matemáticas . 6 : 93.
- ^ Fisher, RA; Tippett, LHC (1928). "Limitar las formas de la distribución de frecuencia del miembro más grande y más pequeño de una muestra". Proc. Sociedad Filosófica de Cambridge . 24 (2): 180-190. doi : 10.1017 / S0305004100015681 .
- ^ Gumbel, EJ (1958). Estadísticas de Extremos . Nueva York: Columbia University Press. OCLC 180577 .
- ^ Coles, Stuart (2001). Introducción al modelado estadístico de valores extremos . Springer-Verlag. ISBN 978-1-85233-459-8.
- ^ Lee, Se Yoon; Mallick, Bani (2021). "Modelado jerárquico bayesiano: aplicación hacia resultados de producción en Eagle Ford Shale del sur de Texas" . Sânkhya B . doi : 10.1007 / s13571-020-00245-8 .
Otras lecturas
- Kotz, S .; Nadarajah, S. (2000) Distribuciones de valores extremos: teoría y aplicaciones , World Scientific. ISBN 1-86094-224-5
enlaces externos
- Una aplicación de una nueva distribución de valor extremo a los datos de contaminación del aire.
- Análisis de olas para fatiga y oceanografía