En la teoría de la probabilidad , la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una representación en serie de potencias (la función generadora ) de la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria . Las funciones generadoras de probabilidad se emplean a menudo para su descripción sucinta de la secuencia de probabilidades Pr ( X = i ) en la función de masa de probabilidad para una variable aleatoria X , y para hacer disponible la teoría bien desarrollada de series de potencias con coeficientes no negativos.
Definición
Caso univariado
Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores en los enteros no negativos {0,1, ...}, entonces la función generadora de probabilidad de X se define como [1]
donde p es la función de masa de probabilidad de X . Tenga en cuenta que las notaciones subindicadas G X y p X se utilizan a menudo para enfatizar que pertenecen a una variable aleatoria en particular X y a su distribución . La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los números complejos z con | z | ≤ 1; en muchos ejemplos, el radio de convergencia es mayor.
Caso multivariado
Si X = ( X 1 , ..., X d ) es una variable aleatoria discreta que toma valores en la red de enteros no negativos d -dimensional {0,1, ...} d , entonces la función generadora de probabilidad de X es definido como
donde p es la función de masa de probabilidad de X . La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los vectores complejos z = ( z 1 , ..., z d ) ∈ ℂ d con max {| z 1 |, ..., | z d |} ≤ 1 .
Propiedades
Serie de potencia
Las funciones generadoras de probabilidad obedecen a todas las reglas de las series de potencias con coeficientes no negativos. En particular, G (1 - ) = 1, donde G (1 - ) = lim z → 1 G ( z ) desde abajo , ya que las probabilidades deben sumar uno. Entonces, el radio de convergencia de cualquier función generadora de probabilidad debe ser al menos 1, según el teorema de Abel para series de potencias con coeficientes no negativos.
Probabilidades y expectativas
Las siguientes propiedades permiten la derivación de varias cantidades básicas relacionadas con X :
- La función de masa de probabilidad de X se recupera tomando derivadas de G,
- De la propiedad 1 se deduce que si las variables aleatorias X e Y tienen funciones generadoras de probabilidad iguales,, luego . Es decir, si X e Y tienen funciones generadoras de probabilidad idénticas, entonces tienen distribuciones idénticas.
- La normalización de la función de densidad de probabilidad se puede expresar en términos de la función generadora por
- La expectativa de es dado por
- Más generalmente, el k- ésimo momento factorial , de X viene dado por
- Entonces la varianza de X viene dada por
- Finalmente, el k- ésimo momento bruto de X viene dado por
- donde X es una variable aleatoria,es la función generadora de probabilidad (de X ) yes la función generadora de momento (de X ).
Funciones de variables aleatorias independientes
Las funciones generadoras de probabilidad son particularmente útiles para tratar con funciones de variables aleatorias independientes . Por ejemplo:
- Si X 1 , X 2 , ..., X N es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente distribuidas de manera idéntica), y
- donde las a i son constantes, entonces la función generadora de probabilidad viene dada por
- Por ejemplo, si
- entonces la función generadora de probabilidad, G S N ( z ), viene dada por
- También se deduce que la función generadora de probabilidad de la diferencia de dos variables aleatorias independientes S = X 1 - X 2 es
- Supongamos que N es también una variable aleatoria discreta independiente tomando valores en los números enteros no negativos, con la función generatriz de probabilidad G N . Si X 1 , X 2 , ..., X N son independientes e idénticamente distribuidos con la función generadora de probabilidad común G X , entonces
- Esto se puede ver, usando la ley de la expectativa total , de la siguiente manera:
- Este último hecho es útil en el estudio de los procesos de Galton-Watson y los procesos compuestos de Poisson .
- Supongamos de nuevo que N es también una variable aleatoria discreta independiente que toma valores en los enteros no negativos, con la función generadora de probabilidad G N y la densidad de probabilidad. Si X 1 , X 2 , ..., X N son variables aleatorias independientes, pero no distribuidas de manera idéntica, donde denota la función generadora de probabilidad de , luego
- Para X i distribuidos de manera idéntica, esto se simplifica a la identidad indicada anteriormente. El caso general a veces es útil para obtener una descomposición de S N mediante funciones generadoras.
Ejemplos de
- La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria constante , es decir, una con Pr ( X = c ) = 1, es
- La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria binomial , el número de éxitos en n ensayos, con probabilidad p de éxito en cada ensayo, es
- Tenga en cuenta que este es el producto n veces mayor de la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro p .
- Entonces, la función generadora de probabilidad de una moneda justa es
- La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa en {0,1,2 ...}, el número de fracasos hasta el r ésimo éxito con probabilidad de éxito en cada ensayo p , es
- (Convergencia para ).
- Tenga en cuenta que este es el producto r- veces de la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria geométrica con el parámetro 1 - p en {0,1,2, ...}.
- La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con parámetro de tasa λ es
Conceptos relacionados
La función generadora de probabilidad es un ejemplo de función generadora de una secuencia: ver también series de potencias formales . Es equivalente a, y a veces se llama, la transformada z de la función de masa de probabilidad.
Otras funciones generadoras de variables aleatorias incluyen la función generadora de momentos , la función característica y la función generadora acumulativa . La función generadora de probabilidad también es equivalente a la función generadora de momento factorial , que como también se puede considerar para variables continuas y otras aleatorias.
Notas
Referencias
- Johnson, NL; Kotz, S .; Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas (2ª edición). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Sección 1.B9)