En geometría , el número de Heesch de una forma es el número máximo de capas de copias de la misma forma que pueden rodearla. El problema de Heesch es el problema de determinar el conjunto de números que pueden ser números de Heesch. Ambos llevan el nombre del geómetra Heinrich Heesch , [1] quien encontró una loseta con el número 1 de Heesch (la unión de un cuadrado, un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo 30-60-90) [2] y propuso el problema más general. [3]
Por ejemplo, un cuadrado puede estar rodeado por un número infinito de capas de cuadrados congruentes en el mosaico cuadrado , mientras que un círculo no puede estar rodeado ni siquiera por una sola capa de círculos congruentes sin dejar algunos espacios. El número de Heesch del cuadrado es infinito y el número de Heesch del círculo es cero. En ejemplos más complicados, como el que se muestra en la ilustración, una loseta poligonal puede estar rodeada por varias capas, pero no por infinitas; el número máximo de capas es el número Heesch del mosaico.
Definiciones formales
Una teselación del plano es una partición del plano en regiones más pequeñas llamadas mosaicos . La corona cero de una baldosa se define como la baldosa en sí, y para k > 0 la k- ésima corona es el conjunto de baldosas que comparten un punto límite con la ( k - 1) ésima corona. El número Heesch de una figura S es el valor máximo k tal que existe un suelo de baldosas del avión, y baldosas de t dentro de ese suelo de baldosas, para los que que todas las baldosas en el orden cero a través de k ésimo coronas de t son congruentes a S . En algunos trabajos sobre este problema, esta definición se modifica para requerir adicionalmente que la unión del cero a la k- ésima corona de t sea una región simplemente conectada . [5]
Si no hay un límite superior en el número de capas por las que se puede rodear un mosaico, se dice que su número de Heesch es infinito. En este caso, se puede utilizar un argumento basado en el lema de Kőnig para mostrar que existe una teselación de todo el plano mediante copias congruentes del mosaico. [6]
Ejemplo
Considere el polígono no convexo P que se muestra en la figura de la derecha, que se forma a partir de un hexágono regular agregando proyecciones en dos de sus lados y hendiduras coincidentes en tres lados. La figura muestra una teselación que consta de 61 copias de P , una gran región infinita y cuatro pequeños polígonos en forma de diamante dentro de la cuarta capa. La primera a la cuarta coronas del polígono central constan enteramente de copias congruentes de P , por lo que su número de Heesch es al menos cuatro. No se pueden reorganizar las copias del polígono en esta figura para evitar crear los pequeños polígonos en forma de diamante, porque las 61 copias de P tienen demasiadas hendiduras en relación con el número de proyecciones que podrían llenarlas. Al formalizar este argumento, se puede probar que el número de Heesch de P es exactamente cuatro. De acuerdo con la definición modificada que requiere que las coronas estén simplemente conectadas, el número de Heesch es tres. Este ejemplo fue descubierto por Robert Ammann . [5]
Resultados conocidos
Se desconoce si todos los enteros positivos pueden ser números de Heesch. Los primeros ejemplos de polígonos con el número 2 de Heesch fueron proporcionados por Fontaine (1991) , quien demostró que una infinidad de poliominós tienen esta propiedad. [5] [7] Casey Mann ha construido una familia de fichas, cada una con el número de Heesch 5. Las fichas de Mann tienen el número de Heesch 5 incluso con la definición restringida en la que cada corona debe estar simplemente conectada. [5] En 2020, Bojan Bašić encontró una figura con el número 6 de Heesch, el número finito más alto hasta el presente. [4]
Para el problema correspondiente en el plano hiperbólico , el número de Heesch puede ser arbitrariamente grande. [8]
Referencias
- ↑ Heesch (1968) , citado por Grünbaum & Shephard (1987) y Fontaine (1991) .
- ^ Holandés, Steven. "El azulejo de Heesch: un interesante no alicatador" . Ciencias naturales y aplicadas, Universidad de Wisconsin – Green Bay . Archivado desde el original el 25 de agosto de 2017 . Consultado el 22 de diciembre de 2008 .
- ^ Grünbaum y Shephard (1987 , págs. 155-156, Problema de Heesch)
- ^ a b Bašić, Bojan (2021). "Una figura con Heesch número 6: empujando un límite de dos décadas" . El inteligente matemático . doi : 10.1007 / s00283-020-10034-w . ISSN 0343-6993 .
- ^ a b c d e Mann, Casey (2004). "Problema de mosaico de Heesch" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (6): 509–517. doi : 10.2307 / 4145069 . JSTOR 4145069 . Señor 2076583 ..
- ^ Grünbaum y Shephard (1987 , p. 151, 3.8.1 El teorema de la extensión)
- ^ Fontaine, Anne (1991). "Un número infinito de figuras planas con Heesch número dos" . Revista de teoría combinatoria . Serie A. 57 (1): 151-156. doi : 10.1016 / 0097-3165 (91) 90013-7 ..
- ^ Тарасов, А. С. (2010).О числе Хееша для плоскости Лобачевского[En el número de Heesch para el plano hiperbólico]. Matematicheskie Zametki (en ruso). 88 (1): 97–104. doi : 10.4213 / mzm5251 . Señor 2882166 .. Traducción al inglés en matemáticas. Notes 88 (1–2): 97–102, 2010, doi : 10.1134 / S0001434610070096 .
Fuentes
- Heesch, H. (1968). Reguläres Parkettierungsproblem . Colonia y Opladen: Westdeutscher Verlag.
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman.
Otras lecturas
- Eppstein, David . "El depósito de chatarra de geometría: problema de Heesch" . Consultado el 31 de agosto de 2009 .
- Friedman, Erich. "Azulejos Heesch con números envolventes 3 y 4" . Consultado el 5 de septiembre de 2006 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número de Heesch" . MathWorld .
- Video de Numberphile sobre Heesch Numbers .