En matemáticas , el teorema de Heine-Cantor , llamado así por Eduard Heine y Georg Cantor , establece que si f : M → N es una función continua entre dos espacios métricos , y M es compacta , entonces f es uniformemente continua . Un caso especial importante es que toda función continua desde un intervalo acotado cerrado hasta los números reales es uniformemente continua.
Suponer que y son dos espacios métricos con métricas y , respectivamente. Supongamos además que es continuo, y que es compacto. Queremos demostrar que es uniformemente continuo, es decir, para cada existe tal que para todos los puntos en el dominio , implica que .
Arreglar algunos . Por continuidad, para cualquier punto en el dominio , existe algo tal que Cuándo está dentro de .
Dejar ser el abierto -barrio de , es decir, el conjunto
Desde cada punto está contenido en su propio , encontramos que la colección es una tapa abierta de. Desde es compacta, esta cubierta tiene una subcubierta finita dónde . Cada uno de estos conjuntos abiertos tiene un radio asociado. Definamos ahora, es decir, el radio mínimo de estos conjuntos abiertos. Dado que tenemos un número finito de radios positivos, este mínimoestá bien definido y es positivo. Ahora mostramos que esto trabaja para la definición de continuidad uniforme.
Suponer que para dos en . Dado que los conjuntos formar una (sub) cubierta abierta de nuestro espacio , lo sabemos debe estar dentro de uno de ellos, digamos . Entonces tenemos eso. La desigualdad del triángulo implica entonces que
implicando que y son ambos como máximo lejos de . Por definición de, esto implica que y son ambos menores que . Al aplicar la desigualdad del triángulo, se obtiene el resultado deseado.
Para una prueba alternativa en el caso de , un intervalo cerrado, consulte el artículo Cálculo no estándar .