En matemáticas , particularmente en topología , una portada de un conjunto es una colección de conjuntos cuya unión incluye como un subconjunto . Formalmente, sies una familia indexada de conjuntos luego es una portada de Si
Cobertura en topología
Las cubiertas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto X es un espacio topológico , a continuación, una cubierta C de X es una colección de subconjuntos T alfa de X cuya unión es todo el espacio X . En este caso decimos que C cubre X , o que los conjuntos U alfa cubre X . Además, si Y es un subconjunto de X , entonces una cobertura de Y es una colección de subconjuntos de X cuya unión contiene Y , es decir, C es una cobertura de Y si
Deje que C sea una cubierta de un espacio topológico X . A subcover de C es un subconjunto de C que todavía cubre X .
Decimos que C es uncubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto(es decir, cadaUαestá contenido enT, dondeTes la topología enX).
Se dice que una cobertura de X es localmente finita si cada punto de X tiene una vecindad que cruza sólo un número finito de conjuntos en la cobertura. Formalmente, C = { U α } es localmente finito si existeexiste alguna vecindad N ( x ) de x tal que el conjunto
es finito. Se dice que una cubierta de X es un punto finito si cada punto de X está contenido en un número finito de conjuntos en la cubierta. Una cobertura es puntualmente finita si es localmente finita, aunque lo contrario no es necesariamente cierto.
Refinamiento
Un refinamiento de una portada de un espacio topológico es una nueva portada de tal que cada set en está contenido en algún conjunto en . Formalmente,
- es un refinamiento de si por todos existe tal que
En otras palabras, hay un mapa de refinamiento satisfactorio para cada Este mapa se utiliza, por ejemplo, en la cohomología Čech de. [1]
Cada subcubierta es también un refinamiento, pero lo contrario no siempre es cierto. Se hace una subcubierta a partir de los conjuntos que están en la portada, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que se realiza un refinamiento a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la portada.
La relación de refinamiento es un preorden en el conjunto de portadas de.
Generalmente hablando, un refinamiento de una estructura dada es otro que en cierto sentido la contiene. Se pueden encontrar ejemplos al dividir un intervalo (un refinamiento de ser ), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Cuando se subdividen complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada simplex en el complejo más fino es una cara de algún simplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales.
Sin embargo, otra noción de refinamiento es la de refinamiento de estrellas .
Subcover
Una forma sencilla de obtener una subcubierta es omitir los juegos contenidos en otro juego en la portada. Considere las cubiertas específicamente abiertas. Dejar ser una base topológica de y ser una tapa abierta de Primer toma Luego es un refinamiento de . A continuación, para cada seleccionamos un conteniendo (que requiere el axioma de elección). Luego es una subcubierta de Por tanto, la cardinalidad de una subcubierta de una tapa abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por tanto, en particular, la segunda contabilidad implica que un espacio es Lindelöf .
Compacidad
El lenguaje de las cubiertas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad . Se dice que un espacio topológico X es
- Compacto
- si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita (o, de manera equivalente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);
- Lindelöf
- si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable (o, de manera equivalente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento contable);
- Metacompacto
- si cada tapa abierta tiene un refinamiento abierto puntual-finito;
- Paracompacto
- si cada tapa abierta admite un refinamiento abierto localmente finito.
Para ver algunas variaciones más, consulte los artículos anteriores.
Dimensión de cobertura
Un espacio topológico X se dice que es de cubriendo dimensión n si cada cubierta abierta de X tiene un refinamiento abierto punto finito de tal manera que ningún punto de X se incluye en más de n + 1 se pone en el refinamiento y si n es el valor mínimo por lo que esto es cierto. [2] Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.
Ver también
Notas
- ^ Bott, Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . pag. 111.
- ^ Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
Referencias
- Introducción a la topología, segunda edición , Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene. Publicaciones de Dover 1999. ISBN 0-486-40680-6
- Topología general , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, Nueva Jersey. 1955.
enlaces externos
- "Covering (of a set)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]