El flujo de Stokes (llamado así por George Gabriel Stokes ), también llamado flujo rastrero o movimiento rastrero , [1] es un tipo de flujo de fluido donde las fuerzas inerciales advectivas son pequeñas en comparación con las fuerzas viscosas . [2] El número de Reynolds es bajo, es decir. Esta es una situación típica en flujos donde las velocidades del fluido son muy lentas, las viscosidades son muy grandes o las escalas de longitud del flujo son muy pequeñas. El flujo progresivo se estudió primero para comprender la lubricación . En la naturaleza, este tipo de flujo ocurre en la natación de microorganismos y espermatozoides [3] y en el flujo de lava . En tecnología, ocurre en pintura , dispositivos MEMS y en el flujo de polímeros viscosos en general.
Las ecuaciones de movimiento para el flujo de Stokes, llamadas ecuaciones de Stokes, son una linealización de las ecuaciones de Navier-Stokes y, por lo tanto, pueden resolverse mediante varios métodos bien conocidos para ecuaciones diferenciales lineales. [4] La función primaria de Green del flujo de Stokes es el Stokeslet , que está asociado con una fuerza puntual singular incrustada en un flujo de Stokes. A partir de sus derivados, se pueden obtener otras soluciones fundamentales . [5] El Stokeslet fue derivado por primera vez por el premio Nobel Hendrik Lorentz , ya en 1896. A pesar de su nombre, Stokes nunca supo sobre el Stokeslet; el nombre fue acuñado por Hancock en 1953. Las soluciones fundamentales de forma cerrada para los flujos inestables generalizados de Stokes y Oseen asociados con movimientos de traslación y rotación arbitrarios dependientes del tiempo se han derivado para los fluidos newtonianos [6] y micropolares [7] .
Ecuaciones de Stokes
La ecuación de movimiento para el flujo de Stokes se puede obtener linealizando las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario . Se supone que las fuerzas inerciales son despreciables en comparación con las fuerzas viscosas, y la eliminación de los términos inerciales del equilibrio de momento en las ecuaciones de Navier-Stokes lo reduce al equilibrio de momento en las ecuaciones de Stokes: [1]
dónde es la tensión (suma de las tensiones viscosas y de presión), [8] [9] yuna fuerza corporal aplicada. Las ecuaciones de Stokes completas también incluyen una ecuación para la conservación de la masa , comúnmente escrita en la forma:
dónde es la densidad del fluido y la velocidad del fluido. Para obtener las ecuaciones de movimiento para flujo incompresible, se supone que la densidad,, es una constante.
Además, ocasionalmente se podrían considerar las ecuaciones de Stokes inestables, en las que el término se agrega al lado izquierdo de la ecuación de equilibrio de momento. [1]
Propiedades
Las ecuaciones de Stokes representan una simplificación considerable de todas las ecuaciones de Navier-Stokes , especialmente en el caso newtoniano incompresible. [2] [4] [8] [9] Son la simplificación de primer orden de las ecuaciones completas de Navier-Stokes, válidas en el límite distinguido
- Instantaneidad
- Un flujo de Stokes no depende del tiempo más que a través de condiciones de frontera dependientes del tiempo . Esto significa que, dadas las condiciones de contorno de un flujo de Stokes, el flujo se puede encontrar sin conocimiento del flujo en cualquier otro momento.
- Reversibilidad en el tiempo
- Una consecuencia inmediata de la instantaneidad, la reversibilidad en el tiempo significa que un flujo de Stokes invertido en el tiempo resuelve las mismas ecuaciones que el flujo de Stokes original. Esta propiedad a veces se puede utilizar (junto con la linealidad y la simetría en las condiciones de contorno) para derivar resultados sobre un flujo sin resolverlo por completo. La reversibilidad del tiempo significa que es difícil mezclar dos fluidos usando un flujo lento.
Si bien estas propiedades son verdaderas para los flujos de Stokes newtonianos incompresibles, la naturaleza no lineal y, a veces, dependiente del tiempo de los fluidos no newtonianos significa que no se cumplen en el caso más general.
- Paradoja de Stokes
Una propiedad interesante del flujo de Stokes se conoce como la paradoja de Stokes : que no puede haber flujo de Stokes de un fluido alrededor de un disco en dos dimensiones; o, de manera equivalente, el hecho de que no existe una solución no trivial para las ecuaciones de Stokes alrededor de un cilindro infinitamente largo. [12]
Demostración de reversibilidad en el tiempo
Un sistema Taylor-Couette puede crear flujos laminares en los que los cilindros concéntricos de fluido se mueven uno al lado del otro en una aparente espiral. [13] Un fluido como el jarabe de maíz con alta viscosidad llena el espacio entre dos cilindros, con regiones coloreadas del fluido visibles a través del cilindro exterior transparente. Los cilindros giran entre sí a baja velocidad, lo que junto con la alta viscosidad del fluido y la delgadez del espacio dan un número de Reynolds bajo , de modo que la aparente mezcla de colores es realmente laminar y luego se puede invertir a aproximadamente el estado inicial. Esto crea una demostración dramática de aparentemente mezclar un fluido y luego desmezclarlo invirtiendo la dirección del mezclador. [14] [15] [16]
Flujo incompresible de fluidos newtonianos
En el caso común de un fluido newtoniano incompresible , las ecuaciones de Stokes toman la forma (vectorizada):
dónde es la velocidad del fluido,es el gradiente de la presión , es la viscosidad dinámica, y una fuerza corporal aplicada. Las ecuaciones resultantes son lineales en velocidad y presión y, por lo tanto, pueden aprovechar una variedad de solucionadores de ecuaciones diferenciales lineales. [4]
Coordenadas cartesianas
Con el vector de velocidad expandido como y de manera similar el vector de fuerza corporal , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente,
Llegamos a estas ecuaciones asumiendo que y la densidad es una constante. [8]
Métodos de solución
Por función de flujo
La ecuación para un flujo de Stokes newtoniano incompresible se puede resolver mediante el método de función de flujo en casos planos o simétricos de eje 3-D
Tipo de funcion | Geometría | Ecuación | Comentarios |
---|---|---|---|
Función Stream , | Plano 2-D | o ( ecuación biarmónica ) | es el operador laplaciano en dos dimensiones |
Función de flujo de Stokes , | Esférico tridimensional | dónde | Para la derivación del operador ver función de flujo de Stokes # Vorticidad |
Cilíndrico 3-D | dónde | Para ver [17] |
Por función de Green: el Stokeslet
La linealidad de las ecuaciones de Stokes en el caso de un fluido newtoniano incompresible significa que la función de Green ,, existe. La función de Green se encuentra resolviendo las ecuaciones de Stokes con el término de forzamiento reemplazado por una fuerza puntual que actúa en el origen y las condiciones de contorno que desaparecen en el infinito:
dónde es la función delta de Dirac , yrepresenta una fuerza puntual que actúa en el origen. La solución para la presión py la velocidad u con | u | y p que desaparece en el infinito viene dado por [1]
dónde
- es un tensor de segundo rango (o más exactamente campo tensorial ) conocido como tensor de Oseen (después de Carl Wilhelm Oseen ). [ aclaración necesaria ]
Los términos Stokeslet y solución de fuerza puntual se utilizan para describir . De manera análoga a la carga puntual en electrostática , el Stokeslet está libre de fuerza en todas partes excepto en el origen, donde contiene una fuerza de fuerza..
Para una distribución de fuerza continua (densidad) la solución (nuevamente desapareciendo en el infinito) se puede construir por superposición:
Esta representación integral de la velocidad puede verse como una reducción en la dimensionalidad: de la ecuación diferencial parcial tridimensional a una ecuación integral bidimensional para densidades desconocidas. [1]
Por la solución de Papkovich-Neuber
La solución de Papkovich-Neuber representa los campos de velocidad y presión de un flujo de Stokes newtoniano incompresible en términos de dos potenciales armónicos .
Por método de elemento de frontera
Ciertos problemas, como la evolución de la forma de una burbuja en un flujo de Stokes, conducen a una solución numérica mediante el método del elemento de contorno . Esta técnica se puede aplicar a flujos bidimensionales y tridimensionales.
Algunas geometrías
Flujo de Hele-Shaw
El flujo de Hele-Shaw es un ejemplo de una geometría para la cual las fuerzas de inercia son despreciables. Está definido por dos placas paralelas dispuestas muy juntas con el espacio entre las placas ocupado en parte por fluido y en parte por obstáculos en forma de cilindros con generadores normales a las placas. [8]
Teoría del cuerpo delgado
La teoría del cuerpo delgado en el flujo de Stokes es un método aproximado simple para determinar el campo de flujo de irritación alrededor de los cuerpos cuya longitud es grande en comparación con su ancho. La base del método es elegir una distribución de singularidades de flujo a lo largo de una línea (ya que el cuerpo es delgado) de modo que su flujo de irritación en combinación con una corriente uniforme satisfaga aproximadamente la condición de velocidad normal cero. [8]
Coordenadas esféricas
La solución general de Lamb surge del hecho de que la presiónsatisface la ecuación de Laplace y se puede expandir en una serie de armónicos esféricos sólidos en coordenadas esféricas. Como resultado, la solución a las ecuaciones de Stokes se puede escribir:
dónde y son armónicos esféricos sólidos de orden :
y el son los polinomios de Legendre asociados . La solución de Lamb se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido dentro o fuera de una esfera. Por ejemplo, se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido alrededor de una partícula esférica con un flujo superficial prescrito, un llamado squirmer , o para describir el flujo dentro de una gota esférica de fluido. Para los flujos interiores, los términos con se eliminan, mientras que para los flujos exteriores los términos con se eliminan (a menudo la convención se asume para los flujos exteriores para evitar la indexación por números negativos). [1]
Teoremas
Aquí se resume la resistencia al arrastre de una esfera en movimiento, también conocida como solución de Stokes. Dada una esfera de radio, viajando a velocidad , en un fluido Stokes con viscosidad dinámica , la fuerza de arrastre viene dado por: [8]
La solución de Stokes disipa menos energía que cualquier otro campo vectorial solenoidal con las mismas velocidades límite: esto se conoce como el teorema de disipación mínima de Helmholtz . [1]
Teorema recíproco de Lorentz
El teorema recíproco de Lorentz establece una relación entre dos flujos de Stokes en la misma región. Considere la región llena de líquido delimitado por la superficie . Deje que los campos de velocidad y resolver las ecuaciones de Stokes en el dominio , cada uno con los campos de tensión correspondientes y . Entonces se cumple la siguiente igualdad:
Dónde es la unidad normal en la superficie . El teorema recíproco de Lorentz se puede utilizar para demostrar que el flujo de Stokes "transmite" sin cambios la fuerza total y el par de una superficie interior cerrada a una superficie exterior envolvente. [1] El teorema recíproco de Lorentz también se puede utilizar para relacionar la velocidad de nado de un microorganismo, como una cianobacteria , con la velocidad de la superficie prescrita por las deformaciones de la forma del cuerpo a través de cilios o flagelos . [18]
Leyes de Faxén
Las leyes de Faxén son relaciones directas que expresan los momentos multipolares en términos del flujo ambiental y sus derivados. Desarrollado por primera vez por Hilding Faxén para calcular la fuerza,y torque, en una esfera, tomaron la siguiente forma:
dónde es la viscosidad dinámica, es el radio de la partícula, es el flujo ambiental, es la velocidad de la partícula, es la velocidad angular del flujo de fondo, y es la velocidad angular de la partícula.
Las leyes de Faxén se pueden generalizar para describir los momentos de otras formas, como elipsoides, esferoides y gotas esféricas. [1]
Ver también
- Ley de Stokes
- Teorema de disipación mínima de Helmholtz
- Ley de darcy
- Flujo de Hele-Shaw
- Taylor raspado de flujo
- Flujo laminar
- Teoría de la lubricación
- Ecuaciones de Oseen
- Poiseuille
- Teoría del cuerpo delgado
- Tasa de flujo volumétrico
- Ley de Faxén
Referencias
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enlaces externos
- Video de demostración de la reversibilidad en el tiempo del flujo de Stokes por UNM Physics and Astronomy