En física e ingeniería, la ecuación de película delgada es una ecuación diferencial parcial que predice aproximadamente la evolución en el tiempo del espesor h de una película líquida que se encuentra sobre una superficie. La ecuación se deriva a través de la teoría de la lubricación, que se basa en el supuesto de que las escalas de longitud en las direcciones de la superficie son significativamente mayores que en la dirección normal a la superficie. En la forma adimensional de la ecuación de Navier-Stokes , el requisito es que los términos de orden y son insignificantes, donde es la relación de aspecto y es el número de Reynold. Esto simplifica significativamente las ecuaciones que gobiernan. Sin embargo, la teoría de la lubricación, como sugiere el nombre, se deriva típicamente del flujo entre dos superficies sólidas, por lo que el líquido forma una capa lubricante. La ecuación de la película delgada se mantiene cuando hay una sola superficie libre. Con dos superficies libres, el flujo debe tratarse como una hoja viscosa. [1] [2]
Definición
La forma básica de una ecuación de película delgada bidimensional es [3] [4] [5]
donde el fluido fluye es
,
y μ es la viscosidad (o viscosidad dinámica) del líquido, h ( x , y , t ) es el espesor de la película, γ es la tensión interfacial entre el líquido y la fase gaseosa por encima de ella,es la densidad del líquido yel cizallamiento superficial. El cizallamiento superficial podría ser causado por el flujo del gas superpuesto o por gradientes de tensión superficial. [6] [7] Los vectoresrepresentar el vector unitario en las direcciones de coordenadas de la superficie, el producto escalar sirve para identificar el componente de gravedad en cada dirección. El vector es el vector unitario perpendicular a la superficie.
En [5] se analiza una ecuación generalizada de película delgada .
- .
Cuándo esto puede representar flujo con deslizamiento en la superficie sólida entera describe el espesor de un puente delgado entre dos masas de fluido en una celda de Hele-Shaw . [8] El valor representa el flujo impulsado por la tensión superficial.
Una forma que se investiga con frecuencia con respecto a la rotura de películas delgadas de líquido implica la adición de una presión disjunta Π ( h ) en la ecuación, [9] como en
donde la función Π ( h ) suele tener un valor muy pequeño para espesores de película moderados-grandes hy crece muy rápidamente cuando h se acerca mucho a cero.
Propiedades
Las aplicaciones físicas, las propiedades y el comportamiento de la solución de la ecuación de película delgada se revisan en. [3] [5] Con la inclusión del cambio de fase en el sustrato, se deriva una forma de ecuación de película delgada para una superficie arbitraria. [10] A Se da un estudio detallado del flujo estable de una película delgada cerca de una línea de contacto en movimiento. [11] Para un flujo de fluido de límite elástico impulsado por gravedad y tensión superficial se investiga en. [12]
Para el flujo impulsado puramente por tensión superficial, es fácil ver que una solución estática (independiente del tiempo) es un paraboloide de revolución.
y esto es consistente con la forma de casquete esférico observado experimentalmente de una gota sésil estática , ya que un casquete esférico "plano" que tiene una pequeña altura puede aproximarse con precisión en segundo orden con un paraboloide. Sin embargo, esto no maneja correctamente la circunferencia de la gota donde el valor de la función h ( x , y ) cae a cero e inferior, ya que una película líquida física real no puede tener un espesor negativo. Ésta es una de las razones por las que el término de presión disjunta Π ( h ) es importante en la teoría.
Una posible forma realista del término de presión disjunta es [9]
donde B , h * , m y n son algunos parámetros. Estas constantes y la tensión superficialse puede relacionar aproximadamente con el ángulo de contacto líquido-sólido de equilibrio a través de la ecuación [9] [13]
- .
La ecuación de la película delgada se puede utilizar para simular varios comportamientos de líquidos, como la inestabilidad de la digitación en el flujo impulsado por la gravedad. [14]
La falta de una derivada del tiempo de segundo orden en la ecuación de película delgada es el resultado de la suposición de un número de Reynold pequeño en su derivación, lo que permite ignorar los términos inerciales que dependen de la densidad del fluido. . [14] Esto es algo similar a la situación con la ecuación de Washburn , que describe el flujo impulsado por capilaridad de un líquido en un tubo delgado.
Ver también
Referencias
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enlaces externos
- Películas delgadas viscosas - Instituto Max Planck