En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un conjunto A se llama transitivo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- siempre que x ∈ A , y y ∈ x , entonces y ∈ A .
- siempre que x ∈ A , y x no es un urelement , entonces x es un subconjunto de A .
Del mismo modo, una clase M es transitiva si cada elemento de M es un subconjunto de M .
Usando la definición de números ordinales sugerida por John von Neumann , los números ordinales se definen como conjuntos transitivos hereditarios : un número ordinal es un conjunto transitivo cuyos miembros también son transitivos (y por lo tanto ordinales). La clase de todos los ordinales es una clase transitiva.
Cualquiera de las etapas V α y L α que conducen a la construcción del universo de von Neumann V y el universo construible L de Gödel son conjuntos transitivos. Los universos L y V en sí mismos son clases transitivas.
Esta es una lista completa de todos los conjuntos transitivos finitos con hasta 20 corchetes: [1]
El cierre transitivo de un conjunto X es la más pequeña (con respecto a la inclusión) conjunto transitivo que contiene X . Supongamos que a uno se le da un conjunto X , entonces el cierre transitivo de X es
Prueba. Denotar y . Entonces afirmamos que el conjunto
es transitivo, y siempre que es un conjunto transitivo que contiene luego .
Asumir . Luego para algunos y entonces . Desde, . Por lo tanto es transitivo.
Ahora deja sea como arriba. Demostramos por inducción que para todos , demostrando así que : El caso base se mantiene desde . Ahora asume. Luego. Pero es transitivo así que De dónde . Esto completa la prueba.
Tenga en cuenta que este es el conjunto de todos los objetos relacionados con X por el cierre transitivo de la relación de pertenencia, ya que la unión de un conjunto puede expresarse en términos del producto relativo de la relación de pertenencia consigo mismo.
Las clases transitivas se utilizan a menudo para la construcción de interpretaciones de la teoría de conjuntos en sí misma, generalmente llamadas modelos internos . La razón es que las propiedades definidas por fórmulas limitadas son absolutas para las clases transitivas.
Un conjunto transitivo (o clase) que es un modelo de un sistema formal de teoría de conjuntos se denomina modelo transitivo del sistema (siempre que la relación de elementos del modelo sea la restricción de la relación de elementos verdadera con el universo del modelo) . La transitividad es un factor importante para determinar el carácter absoluto de las fórmulas.
En el enfoque de superestructura del análisis no estándar, los universos no estándar satisfacen una fuerte transitividad. [ aclaración necesaria ] [2]