El axioma de elección contable o axioma de elección numerable , denota AC ω , es un axioma de la teoría de conjuntos que los estados que cada contable colección de no vacíos conjuntos deben tener una función de elección . Es decir, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de números naturales ) tal que A ( n ) es un conjunto no vacío para cada n ∈ N , existe una función fcon dominio N tal que f ( n ) ∈ A ( n ) para cada n ∈ N .
Resumen [ editar ]
El axioma de elección contable (AC ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), ( Jech 1973 ) que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). Paul Cohen demostró que AC ω , no se puede demostrar en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ( Potter 2004 ). AC ω se mantiene en el modelo Solovay .
ZF + AC ω es suficiente para demostrar que la unión de innumerables conjuntos contables es contable. También es suficiente para probar que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito (equivalentemente: tiene un subconjunto infinito numerable).
AC ω es particularmente útil para el desarrollo de análisis , donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección contable de conjuntos de números reales . Por ejemplo, para probar que todo punto de acumulación x de un conjunto S ⊆ R es el límite de alguna secuencia de elementos de S \ { x }, se necesita (una forma débil de) el axioma de elección contable. Cuando se formula para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios , el enunciado se vuelve equivalente a AC ω . Para otras declaraciones equivalentes a AC ω, ver Herrlich (1997) y Howard & Rubin (1998) .
Un error común es que la elección contable tiene una naturaleza inductiva y, por lo tanto, se puede demostrar como un teorema (en ZF, o sistemas similares, o incluso más débiles) por inducción. Sin embargo, éste no es el caso; este concepto erróneo es el resultado de confundir la elección contable con la elección finita para un conjunto finito de tamaño n (para n arbitrario ), y es este último resultado (que es un teorema elemental en combinatoria) el que se puede demostrar por inducción. Sin embargo, se puede probar que algunos conjuntos numerables infinitos de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Estos incluyen V ω - {Ø} y el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con extremos racionales.
Utilice [ editar ]
Como ejemplo de una aplicación de AC ω , aquí hay una prueba (de ZF + AC ω ) de que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito:
- Sea X infinito. Para cada número natural n , dejar que A n el conjunto de los 2 n -elemento subconjuntos de X . Dado que X es infinito, cada A n no está vacío. La primera aplicación de AC ω produce una secuencia ( B n : n = 0,1,2,3, ...) donde cada B n es un subconjunto de X con 2 n elementos.
- Los conjuntos B n no son necesariamente disjuntos, pero podemos definir
- C 0 = B 0
- C n = la diferencia entre B n y la unión de todos C j , j < n .
- Claramente, cada conjunto C n tiene al menos 1 y como máximo 2 n elementos, y los conjuntos C n están separados por pares. La segunda aplicación de AC ω produce una secuencia ( c n : n = 0,1,2, ...) con c n ∈ C n .
- Entonces, todos los c n son distintos y X contiene un conjunto contable. La función que asigna cada c n a c n +1 (y deja todos los demás elementos de X fijos) es un mapa 1-1 de X a X que no está en, lo que demuestra que X es Dedekind-infinito.
Referencias [ editar ]
- Jech, Thomas J. (1973). El axioma de la elección . Holanda Septentrional. págs. 130-131. ISBN 978-0-486-46624-8.
- Herrlich, Horst (1997). "Principios de elección en topología elemental y análisis" (PDF) . Comentar.Matemáticas.Univ.Carolinae . 38 (3): 545.
- Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consecuencias del axioma de elección" . Providence, RI . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0977-8.
- Potter, Michael (2004). La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 164. ISBN 9780191556432.
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