En análisis numérico , la interpolación de Hermite , que lleva el nombre de Charles Hermite , es un método para interpolar puntos de datos como una función polinomial . El polinomio de interpolación de Hermite generado está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton , ya que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas . Sin embargo, el polinomio de interpolación de Hermite también se puede calcular sin usar diferencias divididas, consulte el teorema del resto chino § Interpolación de Hermite .
A diferencia de la interpolación de Newton, la interpolación de Hermite coincide con una función desconocida tanto en el valor observado como en el valor observado de sus primeras m derivadas. Esto significa que n ( m + 1) valores
deben conocerse, en lugar de solo los primeros n valores requeridos para la interpolación de Newton. El polinomio resultante puede tener un grado como máximo n ( m + 1) - 1, mientras que el polinomio de Newton tiene un grado máximo n - 1. (En el caso general, no es necesario que m sea un valor fijo; es decir, algunos los puntos pueden tener más derivadas conocidas que otros. En este caso, el polinomio resultante puede tener un grado N - 1, siendo N el número de puntos de datos).
Caso simple
Cuando se usan diferencias divididas para calcular el polinomio de Hermite de una función f , el primer paso es copiar cada punto m veces. (Aquí consideraremos el caso más simple para todos los puntos.) Por lo tanto, dado puntos de datos y valores y para una función que queremos interpolar, creamos un nuevo conjunto de datos
tal que
Ahora, creamos una tabla de diferencias divididas para los puntos.. Sin embargo, para algunas diferencias divididas,
que no está definido. En este caso, la diferencia dividida se reemplaza por. Todos los demás se calculan normalmente.
Caso general
En el caso general, suponga un punto dado tiene k derivadas. Entonces el conjunto de datoscontiene k copias idénticas de. Al crear la tabla, dividió las diferencias de valores idénticos se calcularán como
Por ejemplo,
etc.
Ejemplo
Considere la función . Evaluar la función y sus dos primeras derivadas en, obtenemos los siguientes datos:
X | ƒ ( x ) | ƒ '( x ) | ƒ '' ( x ) |
---|
−1 | 2 | −8 | 56 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 2 | 8 | 56 |
Como tenemos dos derivadas con las que trabajar, construimos el conjunto . Nuestra tabla de diferencias divididas es entonces:
y el polinomio generado es
tomando los coeficientes de la diagonal de la tabla de diferencias divididas y multiplicando el k- ésimo coeficiente por, como lo haríamos al generar un polinomio de Newton.
Interpolación Quintic Hermite
La interpolación quíntica de Hermite basada en la función (), su primera () y segundas derivadas () en dos puntos diferentes ( y ) se puede utilizar, por ejemplo, para interpolar la posición de un objeto en función de su posición, velocidad y aceleración. La forma general viene dada por: