Variedad hermitiana

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Las variedades hermitianas son, en cierto sentido, una generalización de los cuádricos y ocurren naturalmente en la teoría de las polaridades .

Definición

Sea K un campo con un automorfismo involutivo . Deje que n sea un número entero y V sea un (n + 1) -dimensional espacio vectorial sobre K . ${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ geq 1}$

A hermitiana variedad H en PG (V) es un conjunto de puntos de los cuales las líneas de vector que representa que consisten en puntos isotrópicas de una hermitiana no trivial forma sesquilinear en V .

Representación

Dejar que sea una base de V . Si un punto p en el espacio proyectivo tiene coordenadas homogéneas con respecto a esta base, es en la variedad hermitiana si y solo si: ${\ Displaystyle e_ {0}, e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ ${\ Displaystyle (X_ {0}, \ ldots, X_ {n})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i, j = 0} ^ {n} a_ {ij} X_ {i} X_ {j} ^ {\ theta} = 0}$

donde y no todo ${\ Displaystyle a_ {ij} = a_ {ji} ^ {\ theta}}$ ${\ Displaystyle a_ {ij} = 0}$

Si se construye la matriz hermitiana A con , la ecuación se puede escribir de forma compacta: ${\ Displaystyle A_ {ij} = a_ {ij}}$

${\ Displaystyle X ^ {t} AX ^ {\ theta} = 0}$

donde ${\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} X_ {0} \\ X_ {1} \\\ vdots \\ X_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Espacios tangentes y singularidad

Deje que p sea un punto de la variedad hermitiana H . Una línea L a través de p es, por definición, tangente cuando contiene solo un punto ( p en sí mismo) de la variedad o se encuentra completamente sobre la variedad. Se puede probar que estas líneas forman un subespacio, o un hiperplano del espacio completo. En el último caso, el punto es singular.

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