En matemáticas , una forma sesquilinear es una generalización de una forma bilineal que, a su vez, es una generalización del concepto de la producto escalar de espacio euclidiano . Una forma bilineal es lineal en cada uno de sus argumentos, pero una forma sesquilineal permite que uno de los argumentos sea "retorcido" de manera semilineal , de ahí el nombre; que se origina en el prefijo numérico latino sesqui- que significa "uno y medio". El concepto básico del producto escalar : producir un escalar a partir de un par de vectores: se puede generalizar permitiendo un rango más amplio de valores escalares y, quizás simultáneamente, ampliando la definición de un vector.
Un caso especial de motivación es una forma sesquilinear en un espacio de vector complejo , V . Este es un mapa V × V → C que es lineal en un argumento y "tuerce" la linealidad del otro argumento mediante una conjugación compleja (denominada antilineal en el otro argumento). Este caso surge naturalmente en las aplicaciones de la física matemática. Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier campo y el giro lo proporciona un automorfismo de campo .
Una aplicación en la geometría proyectiva requiere que los escalares provienen de un anillo de división (campo skew), K , y esto significa que el "vectores" debe ser sustituido por elementos de un K -módulo . En un entorno muy general, las formas sesquilíneas se pueden definir sobre módulos R para anillos R arbitrarios .
Introducción informal
Las formas sesquilineales abstraen y generalizan la noción básica de una forma hermitiana en el espacio vectorial complejo . Las formas hermitianas se ven comúnmente en física , como el producto interno de un complejo espacio de Hilbert . En tales casos, la forma hermitiana estándar en C n viene dada por
dónde denota el complejo conjugado deEste producto puede generalizarse a situaciones en las que no se trabaja con una base ortonormal para C n , o incluso con ninguna base en absoluto. Insertando un factor extra deen el producto, se obtiene la forma sesgada-hermitiana , definida más precisamente a continuación. No hay ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos; se puede definir para anillos arbitrarios que llevan un antiautomorfismo , entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo.
Convención
Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal. En el caso conmutativo, tomaremos el primero como lineal, como es común en la literatura matemática, excepto en la sección dedicada a las formas sesquilíneas en espacios vectoriales complejos. Allí usamos la otra convención y consideramos que el primer argumento es conjugado-lineal (es decir, antilineal) y el segundo es lineal. Ésta es la convención más utilizada por los físicos [1] y se origina en la notación bra-ket de Dirac en la mecánica cuántica .
En la configuración no conmutativa más general, con los módulos de la derecha tomamos el segundo argumento como lineal y con los módulos de la izquierda tomamos el primer argumento como lineal.
Espacios vectoriales complejos
- Supuesto : En esta sección, las formas sesquilíneas son antilineales en su primer argumento y lineales en su segundo.
Sobre un espacio vectorial complejo V un mapa φ : V × V → C es sesquilineal si
para todos x , y , z , w en V y todo un , b en C . a es el conjugado complejo de a .
Una forma sesquilineal compleja también se puede ver como un mapa bilineal complejo
donde V es el complejo conjugado de espacio vectorial para V . Por la propiedad universal de los productos tensoriales, estos están en correspondencia uno a uno con mapas lineales complejos.
Para una z fija en V, el mapa w ↦ φ ( z , w ) es una funcional lineal en V (es decir, un elemento del espacio dual V ∗ ). Del mismo modo, el mapa w ↦ varphi ( w , z ) es un conjugado lineal funcional en V .
Dada cualquier forma sesquilineal compleja φ en V podemos definir una segunda forma sesquilinear compleja ψ mediante la transposición conjugada :
En general, ψ y φ serán diferentes. Si son iguales, entonces se dice que φ es hermitiano . Si son negativos entre sí, entonces se dice que φ es sesgado-hermitiano . Cada forma sesquilínea se puede escribir como la suma de una forma hermitiana y una forma sesgada-hermitiana.
Representación matricial
Si V es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, entonces en relación con cualquier base { e i } de V , una forma sesquilínea está representada por una matriz Φ , w por el vector columna w , yz por el vector columna z :
Las componentes de Φ están dadas por Φ ij = φ ( e i , e j ) .
Forma hermitiana
- El término forma hermitiana también puede referirse a un concepto diferente al que se explica a continuación: puede referirse a una cierta forma diferencial en una variedad hermitiana .
Una forma hermitiana compleja (también llamada forma sesquilínea simétrica ), es una forma sesquilínea h : V × V → C tal que
La forma hermitiana estándar en C n se da (nuevamente, usando la convención "física" de linealidad en la segunda y linealidad conjugada en la primera variable) por
De manera más general, el producto interno de cualquier espacio complejo de Hilbert es una forma hermitiana.
Se introduce un signo menos en la forma hermitiana. para definir el grupo SU (1,1) .
Un espacio vectorial con forma hermitiana ( V , h ) se llama espacio hermitiano .
La representación matricial de una forma hermitiana compleja es una matriz hermitiana .
Una forma hermitiana compleja aplicada a un solo vector
siempre es real . Se puede mostrar que una forma sesquilinear complejo es hermitiana si y sólo si el asociado forma cuadrática es real para todos z ∈ V .
Forma sesgada-hermitiana
Una forma oblicua-hermitiana compleja (también llamada forma sesquilínea antisimétrica ), es una forma sesquilínea compleja s : V × V → C tal que
Cada forma oblicua-hermitiana compleja se puede escribir como i multiplicado por una forma hermitiana.
La representación matricial de una forma oblicua-Hermitiana compleja es una matriz oblicua-Hermitiana .
Una forma oblicua-hermitiana compleja aplicada a un solo vector
es siempre puramente imaginario .
Sobre un anillo de división
Esta sección se aplica sin cambios cuando el anillo de división K es conmutativo . Entonces también se aplica una terminología más específica: el anillo de división es un campo, el anti-automorfismo es también un automorfismo, y el módulo correcto es un espacio vectorial. Lo siguiente se aplica a un módulo de la izquierda con un reordenamiento adecuado de expresiones.
Definición
Una forma σ -sequilineal sobre un módulo K derecho M es un mapa bi-aditivo φ : M × M → K con un anti-automorfismo asociado σ de un anillo de división K tal que, para todo x , y en M y todo α , β en K ,
El anti-automorfismo asociado σ para cualquier forma sesquilineal distinta de cero φ está determinado únicamente por φ .
Ortogonalidad
Dada una forma sesquilínea φ sobre un módulo M y un subespacio ( submódulo ) W de M , el complemento ortogonal de W con respecto a φ es
Del mismo modo, x ∈ M es ortogonal a y ∈ M con respecto a φ , escrito x ⊥ φ y (o simplemente x ⊥ y si φ se puede inferir a partir del contexto), cuando φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no necesita ser simétrica , es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x (pero ver § Reflexividad más abajo).
Reflexividad
Una forma sesquilínea φ es reflexiva si, para todo x , y en M ,
- implica
Es decir, una forma sesquilínea es reflexiva precisamente cuando la relación de ortogonalidad derivada es simétrica.
Variaciones hermitianas
Una forma σ -sequilineal φ se llama ( σ , ε ) -hermitiana si existe ε en K tal que, para todo x , y en M ,
Si ε = 1 , la forma se llama σ - Hermitian , y si ε = −1 , se llama σ - Anti-Hermitian . (Cuando σ está implícito, respectivamente simplemente hermitiano o antihermitiano ).
Para una forma hermitiana ( σ , ε ) distinta de cero, se deduce que para todo α en K ,
También se deduce que φ ( x , x ) es un punto fijo del mapa α ↦ σ ( α ) ε . Los puntos fijos de este mapa de un subgrupo de la grupo aditivo de K .
Una forma ( σ , ε ) -hermitiana es reflexiva, y toda forma σ -sequilineal reflexiva es ( σ , ε ) -hermitiana para algunos ε . [2] [3] [4] [5]
En el caso especial de que σ es el mapa de identidad (es decir, σ = id ), K es conmutativa, φ es una forma bilineal y ε 2 = 1 . Entonces, para ε = 1, la forma bilineal se llama simétrica , y para ε = -1 se llama simétrica sesgada . [6]
Ejemplo
Sea V el espacio vectorial tridimensional sobre el campo finito F = GF ( q 2 ) , donde q es una potencia prima . Con respecto a la base estándar podemos escribir x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) e y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) y definir el mapa φ por:
El mapa σ : t ↦ t q es un involutivo automorphism de F . El mapa φ es entonces una forma σ -sesquilineal. La matriz M φ asociada a esta forma es la matriz identidad . Esta es una forma hermitiana.
En geometría proyectiva
- Supuesto : En esta sección, las formas sesquilíneas son antilineales (resp. Lineales ) en su segundo argumento (resp. Primero).
En una geometría proyectiva G , una permutación δ de los subespacios que invierte la inclusión, es decir
- S ⊆ T ⇒ T δ ⊆ S δ para todos los subespacios S , T de G ,
se llama correlación . Un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936) [7] muestra que las correlaciones de geometrías proyectivas desarguesianas corresponden a las formas sesquilíneas no degeneradas en el espacio vectorial subyacente. [5] Una forma sesquilineal φ es no degenerada si φ ( x , y ) = 0 para todo y en V (si y) solo si x = 0 .
Para lograr la generalidad completa de este enunciado, y dado que toda geometría proyectiva desarguesiana puede ser coordinada por un anillo de división , Reinhold Baer extendió la definición de una forma sesquilínea a un anillo de división, que requiere reemplazar los espacios vectoriales por R -módulos . [8] (En la literatura geométrica, estos todavía se conocen como espacios vectoriales de izquierda o derecha sobre campos de sesgo). [9]
Sobre anillos arbitrarios
La especialización de la sección anterior a los campos sesgados fue una consecuencia de la aplicación a la geometría proyectiva y no intrínseca a la naturaleza de las formas sesquilíneas. Solo se requieren las modificaciones menores necesarias para tener en cuenta la no conmutatividad de la multiplicación para generalizar la versión de campo arbitrario de la definición a anillos arbitrarios.
Deje que R sea un anillo , V un R - módulo y sigma una antiautomorphism de R .
Un mapa φ : V × V → R es σ -sesquilinear si
para todos x , y , z , w en V y todos c , d en R .
Un elemento x es ortogonal a otro elemento y con respecto a la forma sesquilineal φ (escrito x ⊥ y ) si φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no necesita ser simétrica, es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x .
Una forma sesquilinear φ : V × V → R es reflexiva (o orthosymmetric ) si phi ( x , Y ) = 0 implica φ ( y , x ) = 0 para todos los x , y en V .
Una forma sesquilínea φ : V × V → R es hermitiana si existe σ tal que [10] : 325
para todos x , y en V . Una forma hermitiana es necesariamente reflexiva, y si no es cero, el antiautomorfismo asociado σ es una involución (es decir, de orden 2).
Como para un antiautomorfismo σ tenemos σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) para todo s , t en R , si σ = id , entonces R debe ser conmutativa y φ es una forma bilineal. En particular, si, en este caso, R es un campo sesgado, entonces R es un campo y V es un espacio vectorial con una forma bilineal.
Un antiautomorfismo σ : R → R también puede verse como un isomorfismo R → R op , donde R op es el anillo opuesto de R , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma adición, pero cuya operación de multiplicación ( ∗ ) está definida por un * b = ba , donde el producto de la derecha es el producto en R . De esto se deduce que un módulo R derecho (izquierdo) V se puede convertir en un módulo R op izquierdo (derecho) , V o . [11] Por lo tanto, la forma sesquilinear φ : V × V → R puede ser visto como una forma bilineal φ ': V × V o → R .
Ver también
- *-anillo
Notas
- ^ nota al pie 1 en Anthony Knapp Basic Algebra (2007) pág. 255
- ^ "Combinatoria", Actas del Instituto de estudios avanzados de la OTAN, celebrado en el castillo de Nijenrode, Breukelen, Países Bajos, 8-20 de julio de 1974 , D. Reidel : 456-457, 1975 - [1]
- ^ Forma sesquilineal en EOM
- ^ Simeon Ball (2015), Geometría finita y aplicaciones combinatorias , Cambridge University Press , p. 28- [2]
- ↑ a b Dembowski 1968 , p. 42
- ^ Cuando char K = 2 , las formas bilineales simétricas y asimétricas coinciden desde entonces 1 = −1 . En todos los casos, las formas bilineales alternas son un subconjunto de formas bilineales asimétricas y no necesitan ser consideradas por separado.
- ^ Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), "La lógica de la mecánica cuántica", Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843, doi : 10.2307 / 1968621 , JSTOR 1968621
- ^ Baer, Reinhold (2005) [1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 978-0-486-44565-6
- ↑ La terminología de Baer ofrece una tercera forma de referirse a estas ideas, por lo que debe leerse con precaución.
- ^ Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Geometría proyectiva moderna , Kluwer Academic Publishers
- ↑ Jacobson , 2009 , p. 164
Referencias
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
- Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal (2a ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
- Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Álgebra básica I (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
enlaces externos
- "Forma sesquilinear" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]